We find closed form formulas for the value functions of the several types of American lookback spread option through solving optimal stopping problems of running maximum and minimum of an underlying process. First of all, we provide formulas for fixed strike, floating strike lookback options and lookback spread option whose payoff is the difference of the running maximum and minimum prices of a single asset. Therefore, an optimal stopping problem related to both maximum and minimum is posed. Using the monotonicity of the maximum and minimum processes we show that the spread option is equivalent to some fixed strike options on some domains, find the exact form of the optimal stopping region, and obtain the solution of the resulting partial differential equations. We also solve an optimal stopping problem whose gain is the ratio between the maximum and minimum. Finally, we address the optimal selling strategy for an investor who has regret on the maximum value.
이 논문에서는 최댓값과 최솟값을 포함한 최적 멈춤 문제를 통하여 여러 형태의 아메리칸 룩백 옵션의 가격함수를 구한다. 먼저, 고정적 행사가격과 유동적 행사가격을 가지는 룩백 옵션, 그리고 룩백 스프레드 옵션의 가격함수의 닫힌 공식을 구한다. 룩백 스프레드 옵션은 최댓값과 최솟값의 차이를 수익함수로 가지는 옵션이다. 이를 위해 우리는 최댓값과 최솟값을 동시에 포함하고 있는 최적 멈춤 문제를 다룬다. 최댓값과 최솟값 과정의 단조성을 이용하여, 스프레드 옵션의 가격과 적절한 고정적 행사가격 룩백 옵션의 가격과 일치하는 영역이 존재를 증명한다. 또한 대응하는 최적 멈춤 문제의 멈춤 지역을 먼저 구한 뒤 편미분 방정식을 품으로써 가격함수의 공식을 얻는다. 이러한 접근법을 통하여 최댓값과 최솟값의 비율에 관한 최적 멈춤 문제를 추가로 푼다. 끝으로, 최댓값에 대한 후회를 가지는 투자자의 최적 매도 시간 전략을 수립힌다.
