We develop a numerical scheme for the nonlinear Poisson-Boltzmann equation. First, we regularize the solution of PBE to remove the singularity. We introduce the discontinuous bubble function to treat the nonhomogeneous jump conditions of the regularized solution. Next, starting with an initial guess, we apply linearization to treat the nonlinearity. Then, we discretize the discontinuous bubble and the bilinear form of PBE. Finally, we solve the discretized linear problem by IFEM. This process is repeated by updating the previous approximation. We carry out numerical experiments. We observe optimal convergence rate for all examples. We also apply multigrid method to reduce the computation time.
비선형 포아송-볼츠만 방정식을 풀기 위한 수치 해석학 방법을 제시하였다. 우선, 특이점을 제거하여 포아송-볼츠만 방정식의 해를 정규화한다. 정규화된 해의 비동차 도약 조건을 처리하기 위해서, 불연속 거품 함수를 도입하였다. 다음으로, 초기치로부터 시작하여 방정식의 비선형성을 다루기 위해 선형화를 적용한다. 그리고 불연속 거품 함수와 포아송-볼츠만 방정식의 쌍선형 형식을 이산화한다. 최종적으로 이산화된 선형 문제를 IFEM 방법으로 해결한다. 이 과정을 이전 단계의 근사치를 갱신하는 방법으로 반복한다. 수치 시뮬레이션 결과 최적의 수렴성을 갖는 것을 확인하였다. 그리고 계산 시간을 단축하기 위하여 멀티그리드 방법을 적용하였다.
