The size effect is observed on the micro-nano scale where material properties are size dependent. While classical continuum theory cannot capture these phenomena, the modified couple stress theory, which is widely used among the higher order theories because of its practicality and verifiability, can explain it. In this study, four 2D quadrilateral elements and four 3D hexahedral elements are proposed for the modified couple stress theory. The $C^1$ continuity for the displacement field is required because of the second derivatives of displacement in the energy form of the theory. The $C^1$ continuity is satisfied in a weak sense with the Lagrange multiplier method. A supplementary rotation is introduced as an independent variable and the kinematic relation between the physical rotation and the supplementary rotation is constrained with Lagrange multipliers. Weak form with the constraint is provided by using the variational principle, and an additional constraint about the deviatoric curvature is also considered for three dimensional problems. Convergence criteria and a stability condition are derived, and the number and the positions of nodes for each independent variable are determined. All proposed elements pass the $C^{0-1}$ patch test. The performances of the quadrilateral elements and the hexahedral elements are compared through various numerical examples, and the size effect is captured well with the proposed elements. On the other hand, although numerous beam models based on the modified couple stress theory have been suggested, but verification of the beam models is still insufficient. Therefore, the beam models are evaluated using the proposed elements, and it is confirmed that the kinematic assumptions, which are adopted to the beam models, are not proper for beam problems with general beam shapes.
크기 효과는 물체의 크기가 줄어듦에 따라 물성치의 크기가 변하는 현상으로, 거시 영역에서는 나타나지 않으나 물체의 크기가 미소 영역에 가까워질수록 나타난다. 고전 연속체 이론으로는 이 현상을 설명할 수 없기 때문에 여러 고차 연속체 이론들로 이를 설명하려는 노력이 있어왔고, 그 중 수정 커플 응력 이론은 실용성이 있고 실험에 의해 검증되었기 때문에 여러 연구자들에 의해 사용되고 있다. 본 연구에서는 수정 커플 응력 이론에 대한 평면 사각형 요소들과 삼차원 육면체 요소들를 개발하였다. 이론의 에너지 식에 변위의 이차 미분 항이 포함되어 있기 때문에 요소의 변위 장은 최소 $C^1$ 연속성을 만족해야 한다. 하지만 엄격한 $C^1$ 요소의 개발에는 어려운 점이 많기 때문에, 보조 회전 벡터를 독립변수로 도입하고 물리적 회전과의 관계를 라그랑주 승수로 제한하여 $C^1$ 연속성을 약하게 만족시켰다. 변분원리로부터 범함수의 약형을 유도하였고, 삼차원 요소에 대해서는 곡률이 편차 텐서라는 제한조건이 포함된 경우 또한 고려하였다. 요소의 수렴 조건과 안정성 조건에 대해 고찰하여 각 독립변수에 대한 절점의 개수와 위치를 결정하여 4종류의 사각형 요소와 육면체 요소를 제안하였다. 제안된 모든 요소는 $C^{0-1}$ 조각 시험을 통과하였다. 또한 수치 예제를 통해, 제안된 요소들의 성능을 비교하였고 크기 효과가 제안된 요소들을 통해 잘 나타나는 것을 확인하였다. 한편, 수정 커플 응력 이론에 기반한 여러 종류의 수 많은 보 모델들이 제안되어왔지만 이 모델들에 대한 검증은 충분히 이루어지지 않았다. 따라서 제안된 요소들을 이용해 보 모델들을 평가하여, 보 모델들에 적용된 운동학적 가정들이 일반 보 형상에는 적용되지 않음을 수치적으로 밝히고 그 원인에 대해 고찰하였다.
