Eigenvalue analysis plays an important role in various fields. Computing eigensolutions is essential to interpret the dynamic interaction between the structures. Also, eigenvalue analysis is applied to stability analysis for many physical problems such as thermoelastic problems and fluid-solid interaction problems. In this dissertation, we analyze immersed finite element methods for eigenvalue problems arising from heterogeneous media. The first part is to prove the stability and convergence of an immersed finite element method (IFEM) for eigenvalues using Crouzeix-Raviart $P_1$ -nonconforming approximation. We show that spectral analysis for the classical eigenvalue problem can be easily applied to our model problem. We analyze the IFEM for elliptic eigenvalue problems with an interface and derive the optimal convergence of eigenvalues. Numerical experiments demonstrate our theoretical results. The second part is the approximation of eigenvalue problems for elasticity equations with interface. This kind of problems can be efficiently discretized by using IFEM. By adding jump terms across the edges, the discretization yields a stable and locking free scheme. The stability and the optimal convergence of the IFEM for elasticity problems with interface are proved by adapting spectral analysis methods for the classical eigenvalue problem. Numerical experiments demonstrate our theoretical results.
고유치 해석은 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 고유치 값은 물체 고유 진동수와 밀접한 관련이 있기에 구조체 사이의 동적 상호작용 해석에서 중요한 역할을 하고 또한 열 탄성 문제와 같은 물리 문제에서 안정성 해석에도 고유치 해석이 사용된다. 본 논문에서는 서로 다른 물성을 나타내는 이종 매체의 고유치 해석에 경계함유 유한요소법을 적용해보았다. 첫번째 연구로 경계를 포함하는 타원형 고유치 문제를 선형 부접합 기저 함수 기반의 경계함유 유한요소법으로 근사해 보았다. 경계 함유 유한요소법의 안정성과 수렴성을 보이고 고유치의 최적 수렴성을 증명하였다. 다양한 수치 실험을 통하여 이론적 해석의 타당성을 확인해보았다. 두번째 연구로는 경계를 포함하는 탄성 고유치 문제를 벡터 형 선형 부접합 기저 함수를 기반으로 한 경계함유 유한요소법으로 근사해 보았다. 전통적인 고유치 문제 해석방법을 경계함유 탄성문제에도 적용하여 안정성과 수렴성을 증명하였다. 수치 시뮬레이션 결과 또한 이론적 해석과 부합함을 확인하였다.
