This thesis consists of three parts; (1) Cox rings of rational surfaces, (2) Anticanonical models, and (3) Double point divisors. The first two parts are related by redundant blow-ups or redundant minimal model program, but the third part is independent of them.
In the first part, we study redundant blow-ups based on Sakai`s work on the anticanonical models of rational surfaces. We show the existence of redundant blow-ups, and then, we classify them. It turns out that redundant blow-ups play a dominant role in studying morphisms between rational surfaces with finitely generated Cox rings. Furthermore, we prove that the finite generation of Cox rings are preserved under redundant blow-ups with some suitable assumptions. For this purpose, we directly control extremal rays of effective cones of rational surfaces. We also construct many new examples of rational surfaces with finitely generated Cox rings. In particular, we show that certain minimal resolutions of rational Q-homology projective planes and some general blow-ups of weighted projective planes have finitely generated Cox rings.
To understand the structures of Fano type varieties, we study their anticanonical models and maps in the second part of this thesis. Our principal aim is to generalize Sakai`s work to higher dimensional varieties. Although canonical models have only canonical singularities, anticanonical models can have very bad singularities. Thus, we first characterize varieties whose anticanonical models have mild singularities. The canonical maps of varieties of general type are relatively well understood by recent developments of the minimal model program. Thus, we also study the structure of the anticanonical maps using so-called redundant minimal model program. We note that only the redundant blow-ups of terminal varieties with big anticanonical divisor preserve the anticanonical models, whereas every blow blow-ups of terminal varieties of general type preserves the canonical models. In surface case, these results lead us to some nontrivial consequences. For instance, we classify non-rational log canonical weak del Pezzo pairs, and we prove that every surface of globally F-regular type is of Fano type.
Finally, in the third part, we concern projective geometry. Firstly, we study intrinsic properties of smooth projective varieties by projective invariants. Especially, we use the positivity properties of double point divisors and Castelnuovo`s bound of sectional genus. Our main result is roughly that almost every projective variety of small degree is rationally connected or uniruled in more wider range of degrees. These geometric properties of small degree varieties lead us to the classification results. Secondly, we give a new bound for Castelnuovo-Mumford regularity of smooth projective varieties by generalizing Mumford`s method using double point divisor.
본 논문에서는 다음의 세 가지 주제를 다루고 있다: (1) 유리곡면의 Cox 환, (2) 역표준 모형, (3) 이중점 인자. 앞의 두 주제는 여분적인 부풀림 또는 여분적인 최소 모형 계획법을 통해 관련 되고, 세번째 주제는 다른 주제들과 독립적이다.
Sakai의 역표준 인자가 큰 유리 곡면의 역표준 모형에 대한 이론에서 여분적인 부풀림은 역표준 사상의 구조를 이해하는데 있어 중요한 역할을 하지만 그 존재성과 여러 중요한 성질들에 대해선 기존에 알려진 바가 없었다. 본 논문의 첫번째 부분에서는 먼저 대수곡면의 여분적인 부풀림에 대한 기본 이론을 개발하였고, 이를 유한개의 인자들로 생성되는 Cox 환을 가지는 유리 곡면의 분류 문제에 적용하였다. 유한개의 인자들로 생성되는 Cox 환을 가지는 유리 곡면은 다양한 관점에서 연구가 되어왔는데, 여분적인 부풀림을 통해 보다 체계적으로 이해할 수 있게 되었다. 또한, 일반적으로 부풀림은 Cox 환의 성질을 많이 바꾸는데, 적당한 조건 아래에서 여분적인 부풀림은 Cox 환이 유한개의 인자들로 생성되는 성질을 보존함을 증명하였다. 이를 바탕으로 유리 호몰로지 사영 평면의 최소 특이점 해소와 가중 사영 평면의 부풀림의 Cox 환이 언제 유한개의 인자로 생성되는지에 대해서도 부분적인 해결책을 제시하였다.
본 논문의 두번째 부분에서는 우선 Sakai의 역표준 인자가 큰 유리 곡면의 역표준 모형에 대한 이론을 log del Pezzo pair에 적용하여 해당 대수곡면의 구조들을 보다 깊이 이해할 수 있다. 이 결과를 바탕으로 비유리 log canonical weak del Pezzo pair들을 분류하였고, globally F-regular type 곡면들이 Fano type이라는 것을 증명하였다. 또한, Sakai의 역표준 인자가 큰 유리 곡면의 역표준 모형에 대한 이론을 유리기하학적인 관점에서 고차원 Fano type 다양체들의 경우로 확장하였다. 이를 위하여 역표준 모형이 언제 온화한 특이점을 가지는지를 규명하고, 여분적인 최소 모형 계획법을 개발하여 역표준 모형으로 가는 사상들의 구조를 분석하였다.
마지막 부분은 사영기하에 대한 내용이다. 사영다양체를 사영시켰을 때 변화되는 부분이 이중점 인자가 된다. 이 이중점 인자의 양성 성질은 Castelnuovo, Mumford, Noma 등에 의해 연구되었다. 이를 바탕으로 차수가 낮은 사영 대수 다양체의 기하학적인 성질을 쌍유리기하학의 관점에서 분석하고, 이를 이용하여 차수가 낮은 사영 대수 다양체들을 분류하였다. 다른 한편으로, 이중점 인자를 이용한 Mumford의 방법을 발전시켜 Castelnuovo-Mumford 정칙성의 새로운 한계를 주었다.
