Quantum entanglement is the core concept in quantum information science and also a state-of-the-art tool to understand many-body systems in condensed matter physics. In both fields, the entanglement in mixed quantum states is an important issue. For the former, it describes the realistic situation with decoherence and exhibits the structure of entanglement. For the latter, it encodes how the ground-state quantum nature (e.g., quantum criticality and topological order) evolves at finite temperature and how the many-body state extends spatially. The quantitative analysis of mixed-state entanglement, however, becomes less feasible due to the heavy computational cost even for three-qubit full-rank states. Moreover, the direct determination of the mixed-state entanglement in experiment without {\it a priori} knowledge nor the full state reconstruction is an open problem, including the simplest two-qubit case, since the entanglement is not defined by physical observables.
In this dissertation, we illustrate a series of our researches resolving the aforementioned problems. We develop the optimal witness approach which reduces the computational cost in optimization and affords the experimental realization, and apply this approach to the qubit systems and the Kondo physics. First, we construct the optimal witness in quantum optics experiment to determine the entanglement of an arbitrary two-qubit mixed state. The optimal witness directly accesses to the entanglement-related properties of the state and is more accurate and efficient than the conventional approach using the full state reconstruction. Second, we study the Greenberger-Horne-Zeilinger entanglement of three qubits and the four-qubit entanglement of the noisy Smolin states, which is the first analytic quantification of multipartite entanglement of full-rank states. The global optimality of our solution is verified quantitatively by formulating the witness optimization as the minimax problem. Our latest work quantifies the bipartite entanglement, between the magnetic impurity and the bath electrons, in the Kondo model by combining the optimal witness approach and the numerical renormalization group method. The impurity entanglement characterizes the thermal Kondo crossover, the spatial profile of the Kondo cloud, and the interplay between them.
양자 얽힘은 양자정보과학의 핵심 개념인 동시에 최근 응집물질물리에서 다체계를 이해하기 위한 도구로써 주목받고 있다. 섞인 상태의 양자 얽힘은 이 두 분야에서 관심을 끄는 주제이다: 전자의 경우, 섞인 상태는 실제 상황에서 결잃음의 영향을 기술하며, 다자간 및 고차원 양자 얽힘의 특징적인 현상(묶인 얽힘, 얽힘 일부일처제 등)은 섞인 상태에서만 나타난다. 후자의 경우, 다체계에서 양자 얽힘은 양자 임계성, 위상적 질서 변수 등의 바닥상태의 양자역학적 본질을 기술하는데, 이 본질의 열적 및 공간적 의존성을 보기 위해서는 섞인 상태를 다루어야 한다. 그러나 몇몇 특수한 경우를 제외하고, 섞인 상태의 양자 얽힘을 정량화하기 위해서는 최적화 문제를 풀어야 하며, 이는 일반적으로 풀기 어렵다. 세 양자비트만 되어도 최적화 변수가 천 개 이상 필요하기 때문이다. 또한, 실험에서 임의의 섞인 상태 양자 얽힘을 사전 지식 또는 밀도행렬 재구축 없이 판별하는 방법도 중요한 열린 문제이다.
이 학위논문에서는 상기한 문제를 풀기 위한 일련의 연구를 다룬다. 본 연구진은 최적 위트니스 접근법을 개발하여, 최적화의 어려움을 해결하고 실험적으로 섞인 상태의 양자 얽힘을 판별하였다. 첫째, 최적 위트니스를 양자광학실험 상으로 구현하여, 임의의 두 양자비트 섞인 상태의 얽힘을 판별하였다. 기존의 밀도행렬 재구축을 통한 방법과 비교했을 때, 우리의 방법은 양자 얽힘을 보다 직접 보기 때문에 더 정확하고 효율적이다. 둘째, 세 양자비트의 그린버거-혼-짜일링거 얽힘과 네 양자비트의 잡음 섞인 스몰린 상태의 얽힘을 연구하였으며, 이는 최대 계수 상태의 다자간 얽힘을 정량화한 최초의 결과이다. 위트니스의 최적화를 미니맥스 문제로 접근함으로써, 해의 온곳 최적성을 정량적으로 확인할 수 있었다. 셋째, 콘도 모형에서 자성 불순물과 주변 전자 사이의 양자 간 얽힘을 구하고, 이 얽힘이 콘도 모형의 열적 및 공간적 성질을 기술함을 보였다. 이 연구는 양자정보과학에서 오랫동안 열린 문제였던 섞인 상태의 양자 얽힘 정량화에 돌파구를 마련하는 동시에, 응집물질물리에서 나타나는 양자 다체계 현상의 열적 및 공간적 의존성을 조사하기 위한 도구로서 섞인 상태의 양자 얽힘을 제안한다.
