This thesis presents a set of robust computational
algorithms for a broad spectrum of fundamental tasks
in risk management: simulation-based Value-at-Risk
estimation for path-dependent securities, conditional
Value-at-Risk optimization of credit portfolios, and a
geometrically well-defined time series formulation of
multi-dimensional time-varying volatilities. Each
of the methods draws upon both newly developed mathematical
concepts and methods-e.g., perturbation analysis
in the case of simulation-based value-at-risk estimation,
and the differential geometric structure of covariance
matrices in the case of multi-dimensional volatilities---as
well notions in finance that are beginning to enter
the mainstream, e.g., conditional Value-at-Risk
as an objective function for portfolio optimization.
We first develop an efficient Monte Carlo simulation-based methodology
for value at risk (VaR) and sensitivity analysis of mortgage-backed
securities (MBS). Our approach, whose validity
is derived from a fundamental result in perturbation analysis,
is applicable to any analytic interest rate and prepayment model,
and more generally to any path-dependent cashflows that admit
analytic gradients. We compare the accuracy and computational
performance of our VaR estimators with those obtained via
finite-difference gradient approximation schemes.
Secondly, we address the optimization of a credit
risk portfolio with respect to conditional Value-at-Risk.
We first extend the CreditRisk+ model to admit
sector correlation. Our model is flexible enough to
accommodate general types of covariance structures, and
easily implemented via the numerical
algorithms developed for the original CreditRisk+ model.
We show that our model outperforms other CreditRisk+ variants
in its ability to admit sector correlation.
A simulation version of our model is also developed, which in turn
is used to obtain an optimal portfolio allocation by minimizing
conditional Value-at-Risk. Simulation errors are shown to
be very small compared to the analytic counterparts,
and the optimization results provide useful directional
information for portfolio rebalancing.
Finally, we propose a new framework for addressing multivariate
time-varying volatilities. By employing the coordinate-free
methods of differential geometry, our method respects the
geometric structure of the covariance space in a way that is
independent of any local coordinate parametrization.
Based on our geometric framework, we develop two fundamental
time-varying volatility models: a geometric GARCH (GGARCH) model, and
a principal geodesic analysis (PGA) based factor model. These
models preserve the symmetry and positive definiteness of
the covariance matrix as it evolves without imposing any
ad hoc restrictions. Case studies suggest our model possesses
much of the desirable features required for covariance dynamics.
Applied to the US and Korean stock market returns, the
GGARCH model reveals that stock return volatilities
move together, and are transmitted mainly from the US market
to the Korean market. We also find that variances react asymmetrically
to shocks on returns. In a broad context, our framework presents a
new approach treating nonlinear properties observed in the financial
market.
본 논문은 위험관리와 관련한 다양한 분야의
계산 알고리듬을 소개 한다. 여기에는 경로에 따라 가치가
변하는 유가증권의 시뮬레이션에 기초한 VaR 계산
알고리듬, 신용포트폴리오의 조건부 VaR (conditional
VaR) 최적화, 그리고 기하학적으로 잘 정의된
다차원 변동성 시계열 모형이 포함된다.
이러한 방법들 각각은 새롭게 개발된 수학적 개념과
방법론으로부터 나온다. 예로, 시뮬레이션에
기초한 VaR의 추정에서 사용되는 perturbation
analysis 방법이나 다차원 변동성 모형에서의 공분산행렬의
미분 기학학적 구조 및 포트폴리오 최적화에 목적함수로 사용된
조건부 VaR등이 그것이다.
우리는 먼저 MBS의 VaR 및 민감도 분석을 위한
효율적 시뮬레이션 방법을 개발한다. 우리의 방법론의 유효성은
perturbation analysis의 결과에 기초하여 유도되며,
임의의 해석적 이자율 모형과 조기상환 모형, 더욱 일반적으로는
해석적 미분이 가능한 임의의 경로 의존 현금흐름에 적용이 가능하다.
우리의 VaR 추정법의 정확성 및 계산 성능을 차분을 통해 수치적으로
미분 값을 근사화하여 얻은 결과와 비교한다.
두 번째로, 우리는 조건부 VaR를 이용한 신용 포트폴리오 최적화에 대해
논한다. 먼저 섹터간 상관관계를 반영할 수 있도록 CreditRisk+ 모형을
확장한다. 우리의 모형은 일반적인 형태의 공분산을 묘사할 수 있는
유연성을 가지면서도 기존 CreditRisk+ 모형을 위한 수치 알고리듬을
이용한 계산이 가능하여 쉽게 적용할 수 있다.
우리의 모형은 섹터간 상관관계를 묘사하는 능력이
다른 모형들 보다 뛰어난 것으로 나타난다.
우리는 제안된 모형의 시뮬레이션 버전 또한 개발하며
이는 조건부 VaR를 최소화함으로써 최적의 포트폴리오
배분 안을 결정하는데 이용된다.
시뮬레이션 에러는 해석적 결과와 비교하여
아주 작으며 최적화 결과는 포트폴리오 재구성을 위한
방향성에 대한 유용한 정보를 제공하는 것으로 나타난다.
마지막으로, 우리는 다변수 시스템의 변동성 시계열을 설명하기위한 새로운
구조를 제안한다.
좌표로부터 자유로운 미분기하학 방법을 도입함으로써,
우리의 방법은 임의의 지역 좌표 매개화로부터 독립적인 방법으로
공분산 공간의 기하학적 구조를 보존한다.
이러한 기하학적 프레임워크에 기반 하여, 우리는 두 가지 기본적 변동성 시계열 모형을
개발하는데, 기하학적 GARCH (geometric GARCH, GGARCH) 모형과
주 측지선 분석 (principal geodesic analysis, PGA)에 기반을 둔
요인 모형이 그것이다.
이러한 모형들은 아무런 임의의 제약조건을 가하지 않고도 공분산 행렬의
대칭구조 및 양의 정부호 특성을 보존한다.
사례연구를 통해 우리의 모형은 공분산행렬의 동역학 모형이 가져야할
다양한 특성들을 지니고 있음을 확인할 수 있다.
미국과 한국 주식시장 수익률에 GGARCH 모형을 적용함으로써
주식시장 수익률의 변동성은 서로 같은 방향으로 움직이는
성향이 있으며 이러한 영향은 주로 미국시장에서 한국시장으로
전이됨을 알 수 있다. 또한 분산이 수익률의 갑작스런 변동에 비대칭적으로
반응함을 알 수 있다. 넓은 의미에서 우리의 모형은
금융시장에서 관측되는 비선형적 성질들을 다루는 새로운 접근법을 제시한다.
