In chapter 1 we show that in asset return series there is conditional asymmetric relation between current return and past information depending on current return`s sign. To take into account conditional asymmetry we introduce models for asset return in which frequencies of up and down movements of asset price have conditionally independent Poisson distributions with stochastic intensities. For the heteroskedasticity of intensities we introduce GARCH type models which incorporate volatility clustering, leverage effect, and conditional asymmetry. We employ maximum likelihood to estimate parameters and show our model captures dependence in return series. The intensity models are used to price options where the price is given by expectation of a payoff with respect to an equivalent martingale measure whose formula is explicitly given.
In chapter 2 we propose a new method to measure the asymmetry and tail extremeness of asset return distribution under both physical and risk-neutral probabilities. In the method we introduce specific quadratic variation and covariation processes derived from return as measures of the asymmetry and tail extremeness. The risk-neutral expectation of the quadratic variations are computed from S\&P 500 European option prices and the realized variations are calculated from high frequency index time series. The risk-neutral distribution of return is more negatively skewed and fatter tail than physical one. It is harder to forecast the asymmetry and tail extremeness than variance due to the absence of serial dependence. Forecasting asymmetry and tail extremeness based on option implied quadratic variations have modestly better performance than the forecasting based on realized variations.
In chapter 3 we propose a new parameter estimation of option pricing. For state variables in an option pricing formula, we distinguish observable ones and latent ones. Option price is the risk-neutral expectation with respect to a $\sigma$-algebra that includes state variables. Also, we consider a model price of option as a function of only observable ones. Due to the latent variables, we consider the price of option as a random variable with given observable variables and model price as an approximation. As an extension of risk-neutral asset pricing framework, the parameters of a pricing model are estimated to minimize the errors under a risk-neutral measure, but not under the physical measure.
We show how to apply the risk-neutral estimation theory to the Black-Scholes and ad-hoc Black-Scholes option model. Empirical results with S\&P 500 option data show that
our method reduces errors in the presences of stochastic volatility and volatility spread.
첫째, 자산 수익률 시계열은 현재 수익률의 부호에 따라 현재 수익과 과거의 변동성간의 조건부 비대칭성이 있음을 보였다. 이를 설명하기 위해 확률적으로 움직이는 심도를 가지는 조건부 포아송 분포를 바탕으로한 모형을 도입하였다. 또한 시간에 따른 변동성의 변화를 설명하기 위하여 GARCH 모형을 포아송 분포의 심도에 적용하였고, 이를 바탕으로 변동성 군집 현상, 레버리지 효과, 조건부 비대칭성을 함께 설명하였다. 최우추정 방법을 도입하여 GARCH 심도 모형의 모수를 추정하였고, 심도 모형이 자산 수익률 시계열의 종속 구조를 잘 설명한다는 것을 보였다. 또한 이 모형에 동등 마틴게일 측도 방법을 바탕으로 한 옵션 가격 결정 이론을 적용하였다.
둘째, 위험중립형 측도와 실체 측도 모두에서 자산 수익률 분포의 비대칭성과 꼬리 극단성을 측정할 수 있는 새로운 방법을 개발하였다. 특정한 형태의 이차 변분 과정과 공변분 과정을 도입하여 비대칭성과 극단성을 측정하였다. 변분 과정의 위험중립형 기댓값은 S\&P 500 옵션 가격으로 계산하였고, 변분 과정의 실현값은 S\&P 500 지수를 이용하여 계산하였다. 위험 중립형 분포는 실제 분포보다 더 음의 값으로 기울어져 있으며, 두꺼운 꼬리를 가짐을 확인하였다. 비대칭성과 극단성은 연속적 종속 관계가 약하기 때문에 분산의 경우보다 예측하기가 힘들다. 옵션 가격을 바탕으로한 미래 비대칭성과 극단성에 대한 예측은 지수를 바탕으로한 예측보다 조금 나은 성능을 보였다.
셋째, 옵션 가격 공식의 모수 추정에 대한 새로운 방법인 위험중립형 모수 추정 방법을 제시하였다. 옵션 가격은 상태 변수들의 함수로 생각할 수 있는데, 상태 변수는 관측 가능한 변수와 숨겨진 변수로 나눌 수 있다. 옵션 가격은 이러한 변수들이 포함된 시그마 대수에 대한 위험 중립형 기댓값이라고 할 수 있다. 또한 우리는 모델 가격이라는 개념을 도입하였는데 이는 관측 가능한 변수들로만 이루어진 시그마 대수에 대한 옵션 가격의 기댓값이다. 숨겨진 변수들의 존재 때문에, 모델 가격을 실제 가격에 대한 근사값으로 간주하였으며 따라서 모델 가격과 실제 가격의 차이, 즉 오차가 발생하게 된다. 위험중립형 가격 결정 이론의 연장선상으로써, 모형의 모수는 오차의 기댓값을 실제 측도가 아닌 위험중립형 측도에서 0으로 만들어 주어야 한다. 위험중립형 모수 추정에 대한 수학적 이론 및 블랙-숄즈와 ad-hoc 블랙-숄즈 모형에 어떻게 적용할 수 있는지 설명하였다. S\&P 500 옵션을 이용한 실증 연구에서, 위험중립형 모수 추정 방법을 이용하면 일반적인 개념의 모수 추정 방법을 적용했을 때보다 오차의 크기가 더 줄어든다는 사실을 관찰하였다.
