The Riesz potential $I_\alpha$ which defines the fractional powers of the Laplace operator comes from fractional integrals, and has the norm boundedness based on Hardy-Littlewood-Sobolev theorem. In this thesis, we newly define a space $L^{p}\cap L^{r}$ as the intersection Lebesgue space of Lebesgue spaces $L^p$ and $L^r$ and look at properties about the intersection Lebesgue space and essential theorems to proceed the thesis.
Fractional integrals give insights about generalizations of integer-order integration. We consider a curve $\phi$ of finite type defined on an interval $[-1.1]$ with conditions that its first derivative and second derivative do not vanish near the origin. In our work, we define a fractional integral $I_{s,\phi}$ over $\phi$, which is a generalization of $I_\alpha$. For a function that belongs to $L^{p}\cap L^{r}$, we prove $(L^{p}\cap L^{r},L^q)$ norm inequalities with some restricted conditions on exponents $p$, $q$, $r$ and order $\alpha$. More precisely, we show that $I_{s,\phi}$ is $L^q$-norm bounded for functions in $L^{p}\cap L^{r}$ with the conditions. On the other hand, we obtain the weak-type inequality for $I_{s,\phi}$ provided the first derivative and second derivative of $\phi$ do not vanish. In this case, we derive the weak boundedness of $I_{s,\phi}$ for functions in $L^{p}\cap L^{1}$.
Laplacean의 분수거듭제곱으로 정의되는 Riesz 포텐셜 $I_\alpha$는 분수적분으로부터 기인한다. $I_\alpha$는 Hardy-Littlewood-Sobolev 정리에 기초를 두는 노름 유계성을 갖는다. 이 논문에서는 르베그 공간인 $L^p$와 $L^r$ 공간의 공통 르베그 공간을 $L^{p}\cap L^{r}$ 공간이라고 정의하고, 이 공통 르베그 공간의 특성과 논문을 진행하는데 필요한 정리들을 살펴 본다.
분수적분은 정수계 적분의 일반화에 대한 이해를 제공한다. 우리는 일계도함수와 이계도함수가 원점 근처에서 영이 되지 않는 $[-1,1]$ 구간에서 정의된 유한성의 곡선 $\phi$를 고려한다. 이 논문에서는 $\phi$ 위에서, $I_\alpha$에서 일발화된 분수적분 $I_{s,\phi}$를 정의하고, $L^{p}\cap L^{r}$ 공간에 속하는 함수들에 대해서 지수 $p$, $q$, $r$ 그리고 차수 $\alpha$에 관한 몇 가지 제한된 조건하에 $(L^{p}\cap L^{r},L^q)$ 노름 부등식을 증명한다. 더 정확하게, $L^{p}\cap L^{r}$ 공간에 속하는 함수들에 대해 $I_{s,\phi}$의 $L^q$ 노름 유계성을 보인다. 한편, $\phi$의 일계도함수와 이계도함수가 영이 되지 않을 때 약한꼴의 부등식을 얻는다. 이 경우, $L^{p}\cap L^{1}$ 공간에 속하는 함수들에 대해 $I_{s,\phi}$의 약한 유계성을 이끌어낸다.
