Gravity is the last interaction for which a consistent quantum theory has not been formulated. As the quantum nature of gravity plays an important role at the beginning of the universe and in black holes, various approaches have been assessed, including string theory and canonical quantum gravity. Among them, string theory is a means of understanding all particles as different phenomena of a string; it resolves the difficulties inherent in applying quantum field theory to gravity. An intriguing feature of string theory is that for consistency, it requires spatial extra-dimensions in addition to 4-dimensional spacetime. These extra-dimensions are so compactified that they have yet to be observed; however, the ways of wrapping them determine the physics of the remaining 4-dimensional spacetime. Because there is a tremendous number of ways to compactify dimensions, the string theory allows a vast range of physics in 4-dimensional spacetime; it is likely that at least one of them can explain the physical phenomena of our universe. However, there remains the question of why we are in our specific universe among the huge number of allowed vacua: is our universe natural given the tenets of string theory?
Another quantization scheme, canonical quantum gravity, can be a good starting point to answer this question. As the canonical quantization was successful in quantizing other interactions, it was applied to gravity and the theory of canonical quantum gravity was developed. Cosmology based on this theory, canonical quantum cosmology, deals with the wave function of the universe, which can be a probability measure of the universe. Therefore, the canonical quantum cosmology can assign probabilities to the large number of vacua allowed in string theory, and it can be regarded as a criterion with which to determine whether a universe is natural or not. Such a probability measure depends on the boundary condition for the canonical quantum cosmology, and in this thesis, the Hartle-Hawking no-boundary proposal is considered. The no-boundary proposal suggests that the wave function on a 3-dimensional space is given by the path integral over all compact 4-dimensional Euclidean spaces that have the 3-dimensional space as their only boundary. It represents a quantum creation from nothing, and as this description corresponds to the ground state wave function of quantum field theory, it can be regarded as a natural boundary condition.
The probability measure given by the canonical quantum cosmology with the no-boundary proposal is known as the no-boundary measure. In previous research using an approximate method, it was found that the no-boundary measure absolutely prefers a universe with a zero cosmological constant and zero gravitational coupling, which is contradictory to our universe. More recently, however, Hartle, Hawking and Hertog found that if we confine our attention to the universes which exhibit classical behavior like ours, the zero cosmological constant is not a singular point anymore and the inflationary history is necessary. Furthermore, they argued that if the volume of the universe and the limited scale of our observations are considered, universes which experience a large amount of inflation are more probable, indicating that our universe is natural.
This thesis concerns the application of the no-boundary measure to the various types of vacua allowed in string theory. First, to verify the estimation that a universe with zero gravitational coupling is absolutely preferred, the no-boundary measure is applied to the theory of dilaton gravity, a theory in which the volume of the compactified extra-dimensions determines the gravitational coupling of the 4-dimensional spacetime. As a result, the dynamics of the dilaton field, which was ignored in the approximate method, make the no-boundary measure determined by the unstable equilibrium points. Hence, the features of a vacuum, a stable equilibrium point, do not affect the probability. Therefore, a vacuum with zero gravitational coupling is not a singular point. Secondly, the no-boundary measure is employed to estimate the probability of stably compactified extra-dimensions. Although the compactification of extra-dimensions is necessary for us to observe only the 4-dimensional spacetime, there are much larger numbers of opposite cases which can make our universe appear to be unnatural. However, if the classical behavior of the universe is required, as in the works of Hartle, Hawking and Hertog, it is observed that there exists a regime in which the compactified extra-dimensions are preferred. Thirdly, such natural universes as determined by the no-boundary measure can experience the transition of a vacuum structure by the formation of a black hole inside. To investigate this possibility, the final aspect of this thesis contains the dynamical formation of black holes and related effects on the dilaton field and extra-dimensions.
중력은 양자 이론이 정립되지 않은 마지막 상호작용이다. 중력의 양자 현상은 우주의 시작이나 블랙홀 등에서 중요한 역할을 하기 때문에 끈이론과 정준 양자 중력을 비롯하여 다양한 양자 중력 이론이 시도되고 있다. 그 중 끈이론은 모든 입자들을 한 종류의 끈이 나타내는 서로 다른 현상으로 이해하는 이론으로 기존의 양자장론을 중력에 적용했을 때 나타나는 문제점들을 해결해준다. 끈이론의 흥미로운 특징 중 하나는 이론의 정합성을 위해서 4차원 시공간 외에 추가적인 공간 차원들을 필요로 한다는 것이다. 추가된 차원들은 축소되어있기 때문에 아직 관찰되지 않았지만, 이들이 구겨지는 방식은 남아있는 4차원 시공간의 물리 법칙을 결정한다. 차원을 축소시키는 방식은 매우 다양하기 때문에 끈이론이 허용하는 4차원 시공간의 물리 법칙도 매우 다양하며, 그 중 적어도 하나가 우리 우주의 물리 현상을 설명할 수 있으리라 생각할 수 있다. 그러나 끈이론이 허용한 수많은 우주들 중 왜 우리는 우리 우주의 특정한 물리 현상을 관찰하는가에 대한 의문이 남아있으며, 그것은 우리 우주가 끈이론이 허용하는 자연스러운 우주인가에 대한 질문으로 귀결된다.
중력을 양자화 시키는 또 하나의 방법인 정준 양자 중력 이론은 이 질문에 답하기 위한 적절한 시작점이 될 수 있다. 정준 양자화는 다른 상호작용들의 양자화에 성공적이었던 방법으로 중력에도 적용되어 정준 양자 중력 이론이 연구되었다. 이 이론을 기반으로 한 정준 양자 우주론은 우주의 파동함수를 다루며 이것은 우주의 확률 측도가 될 수 있다. 따라서 정준 양자 우주론은 끈이론이 허용하는 다양한 우주들에 확률을 부여할 수 있으며, 어떤 우주가 자연스러운지를 판단하는 기준이 될 수 있다. 이러한 확률 측도는 정준 양자 우주론에 부여된 경계 조건에 의존하는데, 본 논문에서는 하틀-호킹에 의해 제안된 무경계 조건을 따른다. 무경계 조건은 3차원 공간의 파동함수가 그 공간을 유일한 경계로 가지는 모든 4차원 유클리드 공간의 경로적분으로 주어진다는 제안이다. 이것은 무에서 시작하는 우주를 표현하며, 양자장론의 바닥상태 파동함수에 대응하기 때문에 자연스러운 경계조건으로 볼 수 있다.
무경계 조건을 적용한 정준 양자 우주론이 각 우주에 부여하는 확률은 무경계 측도라고 불린다. 근사적인 방법을 이용한 기존 연구를 통해 무경계 측도가 우주상수와 중력상수가 영인 우주를 절대적으로 선호한다는 것이 알려졌으며, 이것은 우리 우주와 모순된 결과였다. 그러나 최근 하틀, 호킹과 헤르톡은 우리 우주와 같이 고전적인 양상을 보이는 우주만 고려할 경우 우주상수가 영인 영역이 더 이상 특별하지 않고 우주의 역사에 인플레이션이 필수적이라는 것을 발견했다. 더 나아가 그들은 우주의 부피와 관찰범위의 한계를 고려할 경우 많은 인플레이션을 겪은 우주가 더 큰 확률을 가진다는 것을 보였고, 이것은 우리 우주가 자연스럽다는 것을 의미한다.
본 논문은 무경계 측도를 끈이론이 허용하는 다양한 형태의 우주에 적용한 연구 결과이다. 먼저 중력상수가 영인 우주가 절대적으로 선호된다는 추정을 검증하기 위해 축소된 추가 차원의 부피가 4차원 시공간의 중력상수를 결정하는 딜라톤 중력 이론에 무경계 측도를 적용시켜보았다. 그 결과 근사적인 계산에서 무시되었던 딜라톤 동역학에 의해 불안정한 평형점들이 무경계 측도를 결정하기 때문에 안정한 평형점인 진공의 성질은 확률에 영향을 주지 않는다는 것을 보였다. 따라서 중력상수가 영인 우주가 특별한 위치를 차지하지 않는다는 것을 알 수 있다. 둘째로 추가 차원이 안정적으로 축소되어있을 확률을 계산하기 위해 무경계 측도를 적용했다. 우리가 4차원 시공간만을 보기 위해서는 나머지 차원들이 축소되어 있어야 하지만 그렇지 않을 경우의 수가 훨씬 많기 때문에 우리 우주가 부자연스러운 것처럼 보일 수 있다. 그러나 하틀, 호킹과 헤르톡의 논문에서처럼 고전적인 양상을 보이는 우주만 고려할 경우 추가 차원의 축소가 선호되는 영역이 존재하는 것을 확인했다. 셋째로 이렇게 무경계 측도에 의해 결정된 자연스러운 우주도 내부에 만들어진 블랙홀에 의해 진공 구조가 바뀔 수 있다. 이러한 가능성을 검증하기 위해 동역학적인 블랙홀 생성과 그에 따른 딜라톤 및 추가 차원의 움직임에 대한 연구를 소개하며 본 논문을 마친다.
