In the framework of finite element methods, meshes should satisfy element compatibility and node connectivity conditions, and therefore mesh generation itself may not be straightforward for complex domains. In this study, several types of elements are proposed to treat non-matching meshes and to simplify a procedure of the mesh generation, and it is shown that they are effectively applied for various linear elastic problems.
As an application of two-dimensional variable-node elements, a three-level adaptive finite element scheme is proposed for a simulation of crack propagation in brittle media with inhomogeneities including randomly distributed voids or inclusions. To reduce total degrees of freedom in the view of mesh gradation, an entire domain is categorized into three regions of different-level meshes: a region of coarse-level mesh, a region of intermediate-level mesh, and a region of fine-level mesh. Three non-overlapping meshes in the coarse-, the intermediate-, and the fine-level regions are employed according to distance from the crack tip with different resolutions, and the variable-node finite elements are utilized to connect them in a seamless way. The crack path in heterogeneous materials, as well as homogeneous materials, can be obtained efficiently by the three-level approach with the aid of variable-node finite elements and a homogenization technique. Some examples are presented to demonstrate accuracy and effectiveness of the proposed scheme. Moreover, directional stability of the crack growth is discussed in terms of T-stress which is calculated from the three-level approach.
Next, novel types of elements that include additional nodes on each edge of a quadrilateral element are proposed for plate and shell analyses. The elements, termed variable-node plate and shell elements, are based on the two-dimensional variable-node elements with point interpolation and on Mindlin-Reissner plate theory. To eliminate locking phenomena, the assumed natural strain method was used in addition to curvature and strain smoothing methods through smoothed integration. Since the variable-node plate and shell elements allow additional nodes and overcome the locking problems, there are advantages when they are used for local mesh refinement. Several numerical examples are provided to demonstrate the effectiveness of the elements in terms of the accuracy and efficiency.
In addition to the topics mentioned above, three-dimensional variable-node elements are developed as an extension of the two-dimensional variable-node elements. They pass the standard patch test and provide an efficient and accurate mesh connection between the meshes with different resolutions. The performance of the proposed elements is demonstrated throughout numerical examples of the local mesh refinement and subdivided modeling.
Finally, a novel scheme for three-dimensional mesh generation, termed the carving technique, is proposed with the aid of poly-pyramid elements. Soaking geometry information of a given model into a regular reference mesh with brick elements, the reference mesh is trimmed with the geometry of the model. The trimmed elements are reconstructed by the introduction of new types of elements, which here are termed poly-pyramid elements. Therefore, the finite element mesh is automatically generated from the geometry information. Shape functions of poly-pyramid elements are newly derived by moving least square approximation. Numerical results are presented to examine the performance of the poly-pyramid elements and to demonstrate the effectiveness of the proposed scheme.
유한요소법을 이용하기 위해서는 요소 사이의 적합성 조건과 절점 사이의 연결 조건을 만족시키는 격자망을 구성해야만 한다. 특히 형상이 복잡한 영역에 대한 격자망 구성은 그 자체가 까다로운 문제가 될 수 있다. 따라서 본 연구에서는 불일치 격자망 문제를 해결하고 격자망 생성을 단순화시키기 위하여 새로운 형태의 변절점 유한요소를 제안하였으며, 다양한 선형 탄성문제에서 변절점 요소가 효과적으로 활용될 수 있음을 입증하였다.
첫째로, 이차원 변절점 요소에 대한 응용으로 적응적 세 수준 유한요소 기법(three-level adaptive finite element scheme)을 제안하고, 이를 이용하여 불균질 성분이 포함된 취성 재료 내의 균열진전을 해석하였다. 자유도를 줄여 효율적으로 해석하기 위하여 균열선단으로부터 떨어진 거리에 따라 전체 영역은 성긴 격자망, 중간 격자망, 조밀한 격자망의 세 수준으로 나누어 모델링되었으며, 서로 다른 분해능을 갖는 격자망을 틈이나 겹침이 없이 연결하기 위하여 변절점 요소가 활용되었다. 세 수준의 유한요소 기법과 균질화 기법을 조합하여 불균질 재료에 대한 균열진전 경로를 예측하였고, 불균질 성분과 경계조건이 균열진전에 미치는 영향을 T-응력의 관점에서 고찰하였다.
둘째로, 사각형의 임의의 변에 임의의 절점 분포를 허용할 수 있는 변절점 평판 요소와 변절점 쉘 요소를 개발하였다. 점함수 보간을 이용한 이차원 변절점 요소와 Mindlin-Reissner 평판 이론에 근거하여 변절점 평판 및 쉘 요소가 형식화되었으며, 잠김 현상을 해결하기 위하여 자연 변형률 가정법(assumed natural strain method)과 완화 적분법(smoothed integration)이 추가적으로 도입되었다. 전체 시스템의 자유도를 효율적으로 감소시키거나 관심 영역에 대하여 더욱 정확한 해석을 하기 위하여 국부적으로 격자망을 세분화시킬 때, 불일치 격자망의 연결에 개발된 요소가 이용되었으며 평판 및 쉘 해석에서도 변절점 요소가 효과적으로 활용될 수 있다는 것을 보였다.
셋째로, 점함수 보간에 의한 이차원 변절점 요소의 개념을 삼차원으로 확장하여 삼차원 변절점 요소를 개발하였다. 여기에서 제안된 삼차원 변절점 요소는 조각시험을 완전하게 통과하며 틈이나 겹침 없이 삼차원 격자망을 효율적으로 연결시킬 수 있다. 특히 변절점 요소를 국부적 격자망 세분화와 분할 모델링에 응용함으로써, 해의 정확성과 해석의 효율성을 동시에 향상시킬 수 있다는 것을 보였다.
마지막으로, 삼차원 격자망 생성에 대한 새로운 조각 기법(the carving technique)을 제안하였다. 육면체 요소로 구성된 규칙적인 격자망에 모델의 기하학적 정보를 대입하고 마칭 큐브 알고리즘(marching cube algorithm)으로 모델의 표면에 맞추어 육면체 요소를 깎아낸다. 이어서 깎여진 요소는 여러 개의 다각뿔 요소(poly-pyramid elements)로 분할된다. 여기에 사용되는 다각뿔 요소는 이동최소제곱(moving least square) 근사에 의해 본 연구에서 새롭게 제안되었다. 이와 같이 요소를 깎아내고 분할하는 일련의 과정은 자동적으로 구현될 수 있다. 따라서 모델의 기하학적 정보만 준비되면 유한요소법에 의해 해석될 수 있는 격자망을 자동으로 생성시킬 수 있다. 수치예제에서는 조각 기법을 이용하여 복잡한 형상을 갖는 모델에 대해서도 효율적으로 격자망을 생성시킬 수 있다는 것을 보였다.
