This thesis is devoted to study of characterizations of approximation properties and the weak Radon-Nikodym property in Banach spaces and various properties of the Lebesgue space $L^P(G)$ of real valued measurable functions which are integrable with respect to a vector measure $\textsl{G}$.
First, we establish new necessary and sufficient conditions for Banach spaces to have the approximation property. We modify the proof of Grothendieck for dual Banach spaces to have the approximation property. And we also add some properties and relations of a weak version of the approximation property.
Secondly, we introduce Grothendieck`s method of relating the metric approximation property to tensor products, we establish another sufficient condition for dual spaces to have the metric approximation property. We also characterize the weak Radon-Nikodym property which is a candidate for another sufficient condition for dual spaces to have the metric approximation property.
Finally, we investigate various properties of the Lebesgue space $L^P(G)$. And we also study conditions on $\textsl{G}$ which enables $L^1(G)$ to enjoy the property of the classical Lebesgue space. In particular, we show, by an example, that $L^1(G)$ does not have the approximation property in general.
이 논문에서는 Banach 공간에서의 근사성질들의 동치 조건들과 약한 라돈 니코딤 조건의 동치조건들에 관한 연구를 하고 있다. 또한 벡터 측도 $\textsl{G}$에 대해 적분 가능한 real valued 함수들의 공간인 르베그 공간 $L^P(G)$의 다양한 성질들에 관한 연구도 하고 있다.
먼저, Banach 공간이 근사성질을 가질 새로운 필요충분조건들을 제시하여 기존의 근사성질에 관한 필요충분조건들을 개선한다. 또한 그로텐틱이 제시한 듀얼 Banach 공간이 근사성질을 가질 필요충분조건에 관한 증명을 수정하여 이를 개선한다. 그리고 약한 근사성질들에 관한 여러 성질들을 규명한다.
다음으로 메트릭 근사성질과 텐서곱의 관계를 규명하는 그로텐틱의 방법을 소개하고 듀얼 공간이 메트릭 근사성질을 가질 새로운 충분 조건을 제시한다. 더 나아가 이와 관련한 충분조건의 후보로서 약한 라돈 니코딤 성질의 동치 조건들을 규명한다.
마지막으로는 르베그 공간 $L^P(G)$의 일반적인 성질들을 제시하고 고전적인 르베그 공간에서 성립하는 여러 성질들이 르베그 공간 $L^1(G)$에서 성립하기 위하여 필요한 조건들을 규명한다. 특히 일반적으로 $L^1(G)$ 가 근사성질을 갖지않음을 예로써 보인다.
