In this thesis I introduce block iterative methods for higher order finite volume methods(FVMs) to the second order elliptic partial differential equations. FVMs were basically developed only for the lowest order case. However, new higher order FVMs were introduced by Cai, Douglas and Park[5], recently. The main idea in their research is that the linear system derived by the hybridization with Lagrange multiplier satisfying the flux consistency condition is reduced to a linear system for pressure variable. And the reduced system is obtained by an appropriate quadrature rule which satisfying a certain approximation order of accuracy for integration.
Since the linear system comes from the higher order method, it is still not only large but also sparse. Besides, it is not diagonally dominant. The conjugate gradient(CG) method is a natural choice to solve the resulting system, but it seems slow, possibly due to the non-diagonal dominance of the system. On the other hand, the linear system has a special structure which is closely related with the higher order FVMs. This structure is a certain block structure corresponding to the order of approximation for pressure variable.
For this reason, I propose block iterative methods with a reordering scheme to solve the linear system derived by the higher order FVM and prove their convergence. Especially, with a proper ordering, each block subproblem can be solved by fast methods such as multigrid(MG) methods. The numerical experiments verify the propose of block iterative method to solve the resulting linear system after reordering, and also show that these block iterative methods are much faster than CG.
본 연구자는 이 연구에서 2계 타원 편미분 방정식을 푸는 고차 유한체적법에 관한 block 반복법을 소개하고자 한다. 유한 체적법은 기본적으로 저차의 방법에 관한 것이었는데 최근에 Cai, Douglas, Park [5] 등에 의해 개발된 방법은 고차의 유한 체적법에 관한 것이다.
이 연구의 핵심은 선형계를 구성하는데 라그랑지 승수를 이용해 유량 무모순성 조건을 만족하게 하는 혼합법을 사용하여 압력변수만의 선형계를 구성하도록 한 점이다. 그리고 이 압력변수에 관한 선형계는 수치적분계산에 대해 적당한 차수의 근사를 통해 얻어질 수 있다.
이때 얻어지는 선형계는 고차의 방법으로부터 도출된 것이므로 여전히 클 뿐만아니라 sparse하기도 하다. 게다가 diagonally dominant하지도 않다. 따라서 공액경사기법이 이 선형계를 푸는 자연스런 풀이 법이다. 그러나 가능하게 diagonally dominant하지 않음으로 인해 수렴속도가 느리다. 한편, 이 선형계는 고차 유한체적법과 매우 밀접한 관계가 있는 구조를 가진다. 이 구조는 압력변수의 근사 차수와 관련된 block구조이다.
이런한 이유로, 본 연구자는 고차 유한체적법으로부터 도출된 선형계를 원소의 재배열을 통한 block 반복법으로 풀고 그의 수렴을 보인다. 특히, 적당한 재배열을 통해 각 block에 대한 하위문제는 다중격자법과 같은 빠른 방법으로 풀 수 있다.
고안된 block 반복법에 관한 수치실험이 수반되고 그 결과로 이 block 반복법이 공액경사기법보다 훨씬 빠름을 알 수 있다.
