In this thesis we study three topics.
First we treat certain Ramanujan`s continued fractions. One of the famous continued fractions which were studied by Ramanujan is the Rogers-Ramanujan continued fraction $R(\tau)$ . Through the works of Gee and Honesbeek([15]), Duke([13]), Cais and Conrad([2]), we see that there are some interesting facts about modularity of $R(\tau)$ , its modular equations and application to the construction of ray class fields. So we will investigate these topics with other Ramanujan`s continued fractions such as $v(\tau)$ and $C(\tau)$ .
Second we will treat the growth of the coefficients of the modular equations for a modular function. P. Cohen first found some growth condition of the coefficients of modular equation for $j(\tau)$ ([7]) and Cais and Conrad showed that the ratio of the logarithmic heights of $j(\tau)$ and $j_5 (\tau)$ , which is the Hauptmodul of $\Gamma(5)$ , goes to the group index $[\overline {\Gamma(1)}: \overline {\Gamma(5)}]$ as n approaches $\infty$ . And we extend it to the case of somewhat general Hauptmoduln.
Finally we introduce some identities of basic hypergeometric series and prove them.
본 학위 논문에서는 세 가지 주제에 대해 다룬다.
첫번째 주제는 라마누잔 연분수에 관한 주제이다. 라마누잔이 연구한 연분수중에 가장 유명한것은 로저스-라마누잔 연분수인 $R(\tau)$ 이다. Gee와 Honesbeek, Duke, Cais와 Conrad가 $R(\tau)$의 보형방정식과 이를 이용한 사선유체를 만들어냈다. 여기서 우리는 보형함수가 되는 다른 라마누잔 연분수인 $v(\tau)$와 $C(\tau)$ 에 대해 연구한다.
두번째로 보형함수의 보형방정식의 계수의 증가를 다룬다. Cohen은 $j(\tau)$ 에 대한 보형방정식의 계수를 추정했고 Cais와 Conrad는 $\Gamma(5)$ 의 Hauptmodul인 $j_5(\tau)$ 와 $j(\tau)$ 의 보형방정식 계수의 logarithmic height가 level이 무한대로 증가할수록 이들의 군지표인 $[\overline {\Gamma(1)}: \overline {\Gamma(5)}]$ 에 수렴함을 보였다. 이 논문에서는 보다 일반적인 Hauptmodul의 경우에도 이들의 군 지표로 설명 가능함을 보인다.
마지막으로 초기하급수에서의 몇가지 등식을 소개하고 이에 대해 증명한다.
