The theory of modular forms plays important role in many fields of number theory. In this thesis we study various aspects of arithmetic properties of modular forms.
The first theme of this thesis is self-recurrences of Hauptmodul $N(j_{1,3})$. As a q-series the coefficients of Hauptmodul satisfy nontrivial recurrence relations. ([3], [24],[28]) We find new recurrences which are not covered by the works of many other people and give some new results.
The second theme is divisibility of traces of singular moduli. Singular moduli are algebraic numbers which is defined by a value of modular form j(z) at the Heegner points. ([1], [35]) We study mod $2^n$ divisibility of the traces of these algebraic numbers.
In the last we study an affine model of modular curve X(p). For the arithmetic purpose it is an interesting problem to find a model of modular curve. Farkas, Kra and Kopeliovich ([7]) showed that the quotients $F_1$ and $F_2$ of modified theta functions generate the function field K(X(p)) of the modular curve X(p) for a principal congruence subgroup Γ(p) with prime p ≥ 7. For such primes p we first find affine models of X(p) over $\mathbb{Q}$ represented by $\Phi_p(X, Y)=0$, from which we are able to obtain the algebraic relations $\Psi_p(X, Y) = 0$ of $F_1$ and $F_2$ raised by Farkas et al. As its application we construct the ray class field K(p) modulo p over an imaginary quadratic field K and then explicitly calculate its class polynomial by using the Shimura reciprocity law.
보형형식 이론은 정수론의 많은 분야에서 핵심적인 역할을 담당하고 있다. 이 논문은 보형형식의 여러가지 산술성에 관한 연구를 다룬다.
첫번째는 Hauptmodul $N(j_{1,3})$의 계수가 만족하는 점화식에 관한 것으로, 이 논문에서는 이 함수가 만족하는 알려져 있지 않은 점화식과 그에 관련된 새로운 결과를 증명한다.
두번째는 특이 모듈라이(singular moduli)의 대각합(trace)이 만족하는 합동식에 관한 내용이다. 특이 모듈라이는 히그너 점에서 정의된 보형형식 j(z)의 함수값으로 대수적 수이다. 우리는 이 대수적 수가 법 $2^n$에 대해 어떤 성질을 가지는지 연구한다.
마지막 내용은 모듈러 곡선 X(p)의 아핀 모델에 관한 것이다. 산술적인 목적으로 모듈러 곡선의 아핀 모델을 구하는 것은 아주 흥미로운 문제이다. 7보다 큰 소수 p에 대해, 주법부분군(principal congruence subgroup) Γ(p)에 대응하는 함수체가 쎄타 함수의 몫으로 정의된 $F_1$과 $F_2$라는 함수로 생성됨이 Farka, Kopeliovich, Kra에 의해 알려져 있다. 이 논문에서는 Farka등이 제기한 문제인 $F_1$과 $F_2$가 만족하는 대수적 관계식을 밝히고, 이를 통해 모듈러 곡선 X(p)의 아핀 모델을 구한다. 그 응용으로 허이차체 K의 사선유체 (ray class field) K(p)를 구성하고, 시무라 상호법칙을 이용하여 사선유체의 분류 다항식 (class polynomial)을 구체적으로 구하였다.
