The least-squares meshless methods are presented where the shape functions are constructed by the moving least-squares (MLS) approximation and the variational equations are derived by the least-squares methods.
It is shown that the least-squares formulations are highly robust to the integration errors while the Galerkin formulations are very sensitive to the integration errors.
To investigate the mathematical structure concerned with the integration errors, inner products which reflect the integration errors are newly defined. Mathematical analyses show that the orthogonality of the solution error with respect to the finite dimensional subspace is reserved in the newly defined inner product in the least-squares methods while the orthogonality condition is not satisfied in the Galerkin methods. Numerical examples are also presented to verify that the least-squares methods are highly robust to the integration errors. Therefore the numerical integration can be performed with great ease and effectiveness using very simple algorithms.
For the general and the elliptic first-order least-squares problems, \aposteriori error estimates are derived, respectively. The error indicator for a general problem is given as the square-root of the integral of the squared-residual in the influence domain of each node. For an elliptic problem, the error indicator can be improved by applying the Aubin-Nitsche method. It is demonstrated, through numerical examples, the error indicators reflect the actual error well. A simple nodal refinement scheme is presented making use of the Voronoi cells. For each node to be refined, new nodes are inserted at the vertices of the Voronoi cell of the node. Numerical examples show that the adaptive first-order least-squares meshless method is effectively applied to the localized problems such as the shock formation in fluid dynamics.
The decoupled first-order least-squares meshless method and the second-order least-squares meshless method for the second-order boundary value problems are also presented to reduce the computational costs and to settle the troubles induced by the dimensional inhomogeneity.
1990년대에 이르러 본격적으로 등장하기 시작한 무요소법은 기존의 유한요소법에서의 격자구성의 어려움을 해결할 수 있는 유력한 방법으로 주목을 받고 있다. 무요소법에서는 형상 함수의 구성에 격자를 필요로 하지 않으므로 특히 구조물의 대변형 해석, 균열 전파 해석 및 적응형 기법 등에서 큰 장점을 가진다.
현존하는 대부분의 무요소법에서는 이동 최소 제곱법을 이용하여 형상 함수를 구성하는데, 여기에는 격자가 필요하지 않다. 그런데, Galerkin 수식화 등을 이용하여 경계치 문제를 해결하고자 할 때에는 해석 영역에서의 적분이 필요하게 된다. 지금까지 주로 사용이 되어온 방법은 적분을 위한 배경 격자를 사용하여 Gauss 구적 공식을 적용해 왔다. 배경 격자는 적분에만 이용이 되고 절점 사이의 연결성을 고려하지 않아도 되므로 유한요소법에서의 격자 구성보다는 간단하다. 그러나 이동 최소 제곱법에 의한 형상 함수가 다항식 형태가 아니며, 또한 형상 함수의 영향 영역이 일반적으로 배경 격자의 영역과 일치하지 않으므로 적분에 상당한 오차가 생기게 된다. 이를 해결하기 위한 여러 가지 방법이 제안되어 왔으며 현재도 이와 관련한 연구가 여러 연구자들에 의해 진행중이다.
본 논문에서는 적분의 정확성을 개선하기보다는 적분 오차에 강건한 방법인 최소 제곱 수식화를 도입하였다. 최소 제곱 개념은 매우 유구한 역사를 가지는 오래된 개념이며, 유한요소법 분야에서는 유체역학이나 전자기학과 같은 분야에서의 비자기수반 (non-self-adjoint) 문제의 해결에 주로 응용이 되어왔다.
최소 제곱 수식화에서는 발산정리(divergence theorem)와 같은 적분 항등식이 이용되지 않는다. 즉, 최소 제곱 수식화에서 적분은 단지 평균화를 위한 도구로 생각할 수도 있다. 따라서 최소 제곱 무요소법은 적분 오차에 그리 민감하지 않다. 반면에 Galerkin 수식화에서는 발산정리 등을 이용하는데, 이는 정확한 적분을 가정하므로 적분 오차에 민감하다. 적분의 오차를 고려한 내적을 새롭게 정의하여 수학적으로 분석해 본 결과, 최소 제곱 수식화는 새롭게 정의된 내적의 관점에서 해의 오차에 대한 직교 조건을 만족하였으나, Galerkin 수식화는 직교 조건을 만족하지 않았다. 그런데 주어진 경계치 문제의 해의 오차는 직교 조건을 만족하는 경우에만 근사 함수의 오차에 의해 제한된다. 즉 Galerkin 수식화는 적분 오차에 민감한 반면에 최소 제곱 수식화는 적분 오차에 강건하다. 이는 수치 실험을 통해서도 확인이 된다. 따라서 최소 제곱 수식화를 이용하면 다소 부정확하지만 매우 간단한 적분점 생성 알고리즘을 효과적으로 사용할 수 있어서 무요소법의 장점을 극대화하는 것이 가능하다.
이러한 적분에 대한 강건성과 이동 최소 제곱 근사의 무요소적 특성으로 인하여 최소 제곱 무요소법은 적응형 기법에 특히 유리하다. 한편 신뢰할 수 있는 적응형 기법을 위해서는 수학적으로 검증이 된 오차 지시기의 사용이 필수적이다. 그런데, 최소 제곱 수식화에서는 잔류항(residual)을 추가되는 노력이 거의 없이 계산할 수 있다. 따라서 각 절점의 영향 영역내에서 잔류항을 적분하여 오차 지시기로 사용할 수 있다. 만약에 주어진 문제에 대한 1차 최소 제곱 수식화가 타원형이라면 더욱 개선된 오차 지시기를 얻을 수 있다. 이 경우 Aubin-Nitsche 방법을 이용하면 각 절점의 영향 영역내의 잔류항의 적분값에 영향 반경을 곱한 값을 오차 지시기로 얻을 수 있다. 두 가지 오차 지시기 모두 잘 작동함을 확인하였다. 적응형 무요소법을 위해서는 기존의 절점 분포에 새로운 절점을 추가하는 적당한 방법이 필요하다. 이를 위해서 본 연구에서는 Voronoi 셀을 이용하였다. 즉, 세분화될 절점의 셀의 각 꼭지점에 새로운 절점을 추가하였는데, 이런식으로 하면 이웃한 절점 사이의 거리가 과도하게 급격히 변하는 것을 막을 수 있다. 참고로 무요소법에서는 절점 사이의 거리가 너무 급격히 변하면 해에 요동이 생겨서 전반적으로 해의 정확성이 떨어지는 경우가 많다. 다시 말하여 적응형 기법이 제대로 동작을 하지 않을 수 있다. 제안한 적응형 최소 제곱 무요소법이 국부적으로 해가 급격하게 변하는 문제에 잘 적용이 됨을 수치 예제를 통해 확인할 수 있었다.
앞에서 언급한 바와 같이 최소 제곱 수식화는 비자기수반 문제에 특히 장점을 가진다. 또한 무요소법은 적응형 기법이 용이하므로 국부적인 현상이 생기는 문제에 효과적이다. 이에 제안한 적응형 최소 제곱 무요소법을 1차원 Burger 방정식 및 충격파가 형성되는 2차원 비압축성 유동문제에 적용하여 보았다. 시간 및 비선형성을 다루기 위하여 먼저 시간에 대하여 이산화 한 후에 공간에 대한 이산화를 적용하였다. 수치 실험에서는 충격파의 형성이 약간 뒤쪽으로 미루어지긴 했지만 적응형 기법에 의해 충격파의 형성을 효과적으로 잡아낼 수 있었다.
2차 이상의 경계치 문제에 1차 최소 제곱 수식화를 적용하는 경우에는 미지수의 개수가 증가할 뿐 아니라 차원의 불균일성에 의한 문제가 생긴다. 계산 시간을 줄이고 차원의 불균일성에 의해 야기되는 문제를 없애기 위하여 분리된 1차 최소 제곱 수식화와 2차 최소 제곱 수식화에 대하여 논의하였다. 분리된 1차 최소 제곱 수식화의 가능성은 경계 조건과 관계가 있으며, 적용이 가능한 경우에는 보다 적은 계산 시간으로 타원형 1차 최소 제곱 수식화와 거의 같은 결과를 주었다. 2차 최소 제곱 수식화는 1차 최소 제곱 수식화 보다는 수렴율이 다소 떨어지지만, 미지수의 개수가 Galerkin 방법과 같으므로, 규모가 큰 문제에서는 효율적일 수 있다. 이 경우에도 Galerkin 방법과는 달리 적분 오차에는 강건한 성질을 확인할 수 있었다.
