We extend recent results of covolume methods for the generalized Stokes problem to a stabilized problem and the stationary incompressible Navier-Stokes problem. Two partitions of the problem domain are needed, the primal partition and the dual partition. It turns out that the covolume methods in this thesis can be viewed as Petrov-Galerkin methods. Hence, some results of finite element methods are used in the analysis of the covolume methods. A stabilized covolume method for the Stokes problem can be formulated by modifying the divergence free condition. We prove that this scheme has a unique solution without the inf-sup condition and its linear convergence in $H^1$ semi-norm for the velocity and in $L^2$ norm for the pressure. We also present numerical results corresponding to this analysis. A major difficulty in numerical methods for the Navier-Stokes problem is in discretizing the convection term. We introduce a skew-symmetric form of the convection term in the problem of small data. We prove that the covolume method for the Navier-Stokes problem has a unique solution and its linear convergence in $H^1$ semi-norm for the velocity and in $L^2$ norm for the pressure. We also consider a multigrid algorithm for the cell centered finite difference scheme on triangular meshes. The energy norm of this prolongation operator is shown to be less than $\sqrt{2}$. Thus the W-cycle is guaranteed to converge. Numerical experiments show that the new prolongation operator is better than the trivial injection.
공액영역법은 유한영역법의 일종으로서 최근 수학적 증명과 해석에 대한 결과들이 많이 나오고 있다. 지금까지의 공액영역법에 대한 결과들을 토대로 안정화된 스톡스 문제와 나비어 스톡스 문제에 대한 공액영역법을 제시하고 해의 존재와 수렴에 대한 수학적 결과들을 정리하였다.
일반적으로 공액영역법에서는 주어진 문제의 영역에 대한 기본영역과 공액영역으로 이루어진 두 영역분할을 필요로 한다. 공액영역법은 주어진 편미분방정식에 대해 공액영역에서의 적분을 기초로 하고 있고, Petrov-Galerkin 방법으로 볼 수 있다. 또한 수학적 해석의 작업은 유한요소법의 수학적 기법들을 사용하여 보다 쉽게 수행할 수 있다.
안정화된 스톡스 문제에 적용한 공액영역법은 inf-sup 조건을 만족하지 않는 간단한 근사함수 공간이 사용됨으로써 기존의 여타 방법에 비해 계산이 간단하다는 특징을 가지고 있다. 또한 나비어 스톡스 문제에 적용한 공액영역법에서는 inf-sup 조건을 만족하는 간단한 근사함수공간이 사용되었다. 나비어 스톡스 문제에 대한 수치해법에서 가장 어려운 부분은 컨벡션 항에 대한 처리이다. 이 논문에서는 컨벡션 항에 대해 반 대칭 형식을 사용하여 해의 존재와 일차 수렴을 증명하였다.
마지막으로 라플라스 방정식을 유한 차분을 적용하여 행렬 방정식으로 만들었고, 이 행렬 방정식의 효과적인 해법으로서 다중격자법을 제시하였다. 효과적인 다중격자법을 위해 낮은 격자에서 높은 격자로 이동하는 새로운 작용소를 이용하였다. 이 작용소의 노옴은 $sqrt{2}$ 보다 작거나 같음을 보일 수 있다. 따라서 W-cycle 다중격자법이 수렴함을 알 수 있다. 수치실험의 결과들을 통해 이 논문의 다중격자법이 기존의 방법에 비해 빠른 수렴 속도를 보임을 확인하였고, 표를 이용하여 마지막 장에 실험의 결과들을 제시하였다.
