The goal of the research in this thesis is to extend the understanding of the physics involved in the heat exchanger method growth of bismuth germanium oxide crystals, and the silicon single crystals growth in batchwise and continuous Czochralski systems. The specific objectives focus on the investigation of heat, mass and momentum transport phenomena in crystal growth systems. These objectives have been met by constructing a comprehensive pseudo steady state and transient models describing the crystal growth process.
The transient analyses of heat exchanger method that have been presented in this thesis are meaningful because these are the first time dependent simulation of bismuth germanium oxide crystals growth in the heat exchanger growth system. In the numerical analyses of heat transfer, hydrodynamics and free boundaries in Czochralski silicon growth, the success in better understanding the physics involved in the Czochralski process is evident, and the development of mathematical model which is suitable for dynamic simulation of Czochralski process by eliminating the simplifying assumption, such as crystal height or melt volume, are some degree of success. Dynamic simulations of two dimensional dopant distribution in batchwise and continuous Czochralski silicon growth are a platform for future extensions of the model to make quantitative predictions of mass transfer process.
Robust numerical algorithms for solution of nonlinear free and moving boundary problems were constructed for quasi-steady state and transient model by systematic implementation of finite element discretization and implicit time integration method in transient models for the resulting differential algebraic set of equations. Newton/Raphson method, coupled with frontal elimination method for linear systems, was effective in solving the large set of nonlinear algebraic equations.
The growth of bismuth germanium oxide crystal (BGO) in the heat exchanger method is simulated with the heat exchanger method model. The effect of convective heat transfer on the shape and location of melt/crystal interface during the crystal growth process has been analyzed. It has been demonstrated that the convective heat transfer should be considered to simulate the heat transfer process of heat exchanger method rigorously.
We examined the effects of the various growth parameters on the melt/crystal interface shape, temperature and flow field through this model, and the sensitivity of the thermal conductivity of melt BGO on the maximum deflection of melt/solid interface by changing the value of thermal conductivity. With the change of the thermal conductivity of melt BGO, the maximum deflection of melt/solid interface maintains almost same value. However, the precise thermophysical properties of melt BGO is required for better prediction through numerical simulation.
We have studied the individual flow mechanism to determine their interactions with the free boundaries in the Czochralski growth and the effects of each flow mechanisms on the magnitude of stream function with modified Hydrodynamic Thermal Capillary Model. The actual Czochralski flow depends on all of the flow mechanisms and single flow mechanism does not dominate the convection in the melt phase. The melt/crystal interface shape can be predicted qualitatively. Transient modelling should be performed to simulate the melt convection in Czochralski crystal growth process and the mathematical model which is suitable for dynamic simulation is developed. Numerical analysis of the growth of silicon single crystal in Czochralski configuration with Improved Thermal Capillary Model has demonstrated that shouldering shape should be considered in numerical simulation of Czochralski growth configuration, because it affects the melt/crystal interface shape at a initial stage of the crystal growth.
In transient two dimensional convection-diffusion model, the dopant concentration field was modelled to study the segregation phenomena in batchwise and continuous Czochralski process. Experimental values of growth and system parameters for Czochralski growth of boron-doped, 4-inch silicon single crystal were used in the numerical calculations. The experimental axial segregation in batchwise Czochralski process can be described successfully using convection-diffusion model. It has been demonstrated with this model that silicon single crystal with uniform axial dopant concentration can be grown in the continuous Czochralski process.
본 논문의 연구목적은 열교환법에 의한 BGO (bismuth germanium oxide) 결정성장과 회분식과 연속식 쵸크랄스키법에 의한 실리콘 단결정성장과 같은 결정성장공정에서 발생하는 물리현상에 관한 이해를 높이는 것이다. 결정성장 시스템내의 열전달, 물질전달 그리고 운동량전달에 관한 연구에 중점을 두고 있다. 이러한 목적은 결정성장공정을 모사하는 준정상상태 모델과 비정상상태 모델을 수립하여 달성된다.
본 연구에서 행한 열교환법에 대한 비정상상태 해석은 열교환법에 의한 BGO 결정성장에 관한 최초의 시간의존해석이라는 의미를 갖는다. 쵸크랄스키 실리콘 성장에서 열전달, 유체전달과 자유계면의 수치해석을 통해 공정에 대한 물리적 이해를 한층 높일 수 있었으며 결정높이와 용융액 부피와 같은 단순화 가정을 배제함으로써 쵸크랄스키 공정의 비정상상태 해석에 적합한 수학적 모델식을 수립하였다. 회분식과 연속식 쵸크랄스키 실리콘 단결정 성장에 관한 2차원 비정상상태 모사는 물질전달에 관하여 정량적 예측을 할 수 있는 모델의 근간을 제공한다.
준정상상태 비선형 자유 경계 문제와 비정상상태 비선형 이동 경계 문제의 해를 구하기 위한 수치해석기을 수립하였다. 유한요소법을 사용하였으며 비정상상태의 경우에는 시간적분방법을 함께 사용하였다. Frontal 방법과 함께 Newton/Raphson 방법을 사용하여 비선형 대수 방정식의 해를 효율적으로 구할 수 있었다.
열교환법에 의한 BGO 결정성장에 관해 열교환법 모델을 사용하여 전산모사하였으며, 결정성장동안에 대류열전달이 고/액 계면의 형태와 위치에 미치는 영향에 관해 해석하였으며, 열교환법의 열전달공정을 정확히 모사하기 위해서는 대류 열전달이 고려되어야 한다는 것을 알았다.
다양한 성장변수가 고/액 계면의 모양, 온도장과 유동장에 미치는 영향에 관해 고찰하였으며, BGO 용융액의 열전도도를 변화시키면서 BGO 용융액의 열전전도가 고/액 계면의 최대휨도에 미치는 영향을 살펴보았다. BGO 용융액의 열전도도가 변화하여도 고/액 계면의 최대휨도는 거의 일정하게 유지됨을 알 수 있었으며, 전산모사를 통해 열전달 현상을 정확히 예측하기 위해서는 BGO 용융액의 정확한 물성치가 필요하다.
쵸크랄스키 성장에서 각 흐름 유발 인자들이 자유 계면의 모양에 미치는 영향과 흐름함수의 크기에 미치는 영향을 수정한 Hydrodynamic Thermal Capillary Model을 이용하여 고찰하였다. 쵸크랄스키 공정중 실제흐름은 모든 흐름 유발 인자에 의존함을 알 수 있었으며, 하나의 흐름 유발 인자만에 의해 용융액내의 유동장이 지배받지 않음을 알 수 있었으며, 고/액 계면의 형태를 정성적으로 예측할 수 있었다. 쵸크랄스키 결정성장 공정에서 용융액내의 유동장을 모사하기 위해서는 비정상상태 해석이 필요함을 알았으며, 비정상상태 해석에 적합한 수학적 모델식을 수립하였다. Improved Thermal Capillary Model을 이용한 쵸크랄스키 실리콘 단결정 성장에 관한 수치모사 결과를 통해 shouldering 모양이 결정성장초기에 고/액 계면의 모양에 의존한다는 것을 알았다. 따라서 쵸크랄스키 공정의 수치모사에 shouldering 모양을 고려해야 한다.
회분식과 연속식 쵸크랄스키 공정동안에 발생하게 되는 편석현상을 고찰하기 위해 비정상상태 2차원 대류-확산 모델을 이용하여 도판트 농도분포에 관해 모사하였다. Boron을 도핑한 쵸크랄스키 4인치 실리콘 단결정 성장에 관한 성장변수와 시스템변수는 실제 공정에서의 수치를 전산모사에 사용하였다. 회분식 쵸크랄스키 공정에서의 실험적 축방향 편석현상을 대류-확산 모델을 이용하여 예측할 수 있었다. 균일한 축방향 도판트 농도를 유지하는 실리콘 단결정을 연속식 쵸크랄스키 공정을 이용하여 성장시킬 수 있다는 것을 본 모델을 사용하여 알아보았다.
