This thesis is devoted to a study of an abstract theory of frames and frame multiresolution analysis.
First, we give two equivalent conditons for a frame to be a Riesz basis of a separable Hilbert space by a careful examination of the 'projection method' which approximates the coefficients of a frame expansion, and obtain formulas of Riesz bounds in terms of the eigenvalues of the Gram matrices of finite subsets of a frame. We then generalize bi-orthogonal (non-orthogonal) MRA to frame MRA in which the family of integer translates of a scaling function forms a frame for the initial ladder space $V_0$. We probe the internal structure of frame MRA's and establish the existence of a dual scaling function, and show that, unlike bi-orthogonal MRA, there exists a frame MRA that has no 'wavelet.' We prove the existence of a dual wavelet under the assumption of the existence of a wavelet and present easy sufficient conditions for the existence of a wavelet. Finally, we give a new proof of an equivalent condition for the translates of a function in $L^2(R)$ to be a frame of its closed linear span, and present a proof that, among all complex numbers, Duffin-Schaeffer's choice in the Neumann series expansion of the inverse of a frame operator has the best possible convergence rate.
본 논문에서는 추상적 프레임의 성질과 프레임 MRA를 연구한다.
먼저, 프레임 전개의 계수를 근사하는 방법인 '투사방법'을 세밀히 분석함으로써 프레임이 분리가능한 힐버트 공간의 리스 기저가 되는 두 가지 동치조건을 제시하고 프레임의 유한 부분집합들의 그람 행렬의 고유치들로 표현되는 리스 한계를 얻는다. 그리고 스케일 함수의 정수 이동들이 최초의 공간 $V_0$의 프레임이 되는 것을 허용함으로써 이중직교 MRA를 프레임 MRA로 확장한다. 프레임 MRA의 내부구조를 조사하고, 공액 스케일 함수의 존재를 증명하고, 이중직교 MRA 경우와는 다르게 웨이블릿이 존재하지 않는 프레임 MRA를 구성한다. 웨이블릿이 존재한다는 가정하에 공액 웨이블릿의 존재를 증명하고 웨이블릿 존재할 간단한 충분조건을 제시한다. 마지막으로, $L^2(R)$ 함수의 정수 이동들이 자신들의 닫힌 선형 공간의 프레임이 될 필요충분조건을 기초적인 방법으로 증명하고 주어진 프레임의 노이만 급수 전개에서 두핀-셰퍼의 선택이 모든 가능한 복소계수중에서 가장 좋은 수렴률을 갖는다는 것을 보인다.
