In this thesis, we are concerned with the arithmetic of elliptic curves defined over a number field or a finite field. The main purpose of this thesis is on the orders of the reductions of a given point in the Mordell-Weil groups of elliptic curves.
In Chapter 1, we introduce elliptic curves. To begin with, we explain some properties of the Mordell-Weil groups and present important theorems on elliptic curves defined over a number field. In addition, we define division polynomials of elliptic curves, which plays an important role in Chapter 2 and 3.
In Chapter 2, we are concerned with supersingular elliptic curves. Let E be an elliptic curve defined over a finite field $F_p$ for a prime p≠2,3. Then we get the complete description of the $p^k$-th division polynomials for any positive integer k when E is supersingular. Also, we get a property of the division polynomials when E is ordinary. At last, we get a sufficient condition for ordinary primes.
In Chapter 3, we prove the elliptic analogue of Bang's theorem. Consider an elliptic curve E over a number field K. For any non-torsion point M∈E(K), the order of the reductions M mod p runs through all but finitely many positive integers as p runs through all good primes. Moreover, it runs through all positive integers for all but finitely many point M∈E(K). For singular primes, we estimate discrete valuations of division polynomials at each singular prime when evaluated at a point.
본 논문에서는 수체 혹은 유한체위에 정의된 타원곡선에 대해 다룬다. 그 중에서도 특히 타원곡선의 모델-베일군에서 고정된 점의 줄임시 위수들에 대하여 연구한다.
1 장에서는 우선 타원곡선을 소개하고 타원곡선의 모델-베일군의 성질들과 몇가지 중요한 정리들을 설명한다. 다음으로, 2장과 3장에서 중요한 역할을 하는 타원곡선의 분할다항식을 정의하고 그 성질들을 살펴본다.
2장에서는 supersingular 타원곡선을 다룬다. 유한체 $F_p$위에 정의된 supersingular 타원곡선 E가 주어졌을때 $p^k$ 번째 분할다항식을 구하고, E가 ordinary인 경우에도 분할다항식의 특수한 성질을 얻는다. 마지막으로 어떤 소수가 ordinary 하기 위한 충분조건을 구한다.
3장에서는 타원곡선상에서 Bang의 정리를 증명한다. 즉, 수체 K위에 정의된 타원곡선 E와 꼬임이 없는 점 M∈E(K)이 주어졌을때, p가 좋은 소수이면서 변하면, 법 p에 대한 M의 줄임시 위수들은 거의 모든 자연수가 됨을 보인다. 더우기 유한개의 점을 제외하면 그 위수들은 모든 자연수가 됨을 보인다. 특이 소수에 대하여는 분할다항식의 값을 한 점 M에서 구했을때 그 소수에 대한 discrete valuation을 구한다.
