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Blow-up dynamics for the self-dual Chern-Simons-Schrödinger equation = 자기쌍대 천-사이먼스-슈뢰딩거 방정식의 폭발 역학에 대하여
서명 / 저자 Blow-up dynamics for the self-dual Chern-Simons-Schrödinger equation = 자기쌍대 천-사이먼스-슈뢰딩거 방정식의 폭발 역학에 대하여 / Kihyun Kim.
발행사항 [대전 : 한국과학기술원, 2021].
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DMAS 21005

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We study the blow-up dynamics for the self-dual Chern-Simons-Schrödinger equation (CSS) under equivariance symmetry. (CSS) is $L^2$-critical, has the pseudoconformal symmetry, and admits a static solution $Q$ for each equivariance index $m \geq 0$. An application of the pseudoconformal transformation to $Q$ yields an explicit finite-time blow-up solution $S(t)$ which contracts at the pseudoconformal rate $|t|$, with zero asymptotic profile. In the case of higher equivariance indices $m \geq 1$, we first construct pseudoconformal blow-up solutions $u$ with nonzero asymptotic profiles (thus $u \neq S(t)$ necessarily), and moreover exhibit an instability mechanism, the rotational instability, of such solutions. As complementary to this result, we show that pseudoconformal blow-up solutions can arise from a codimension one manifold of initial data. These results are based on the joint works with Soonsik Kwon [40, 41] and occupy Chapters 2 and 3. In Chapter 4, we consider the most physically relevant, but the most delicate radial case $m=0$. In this regime, $S(t)$ is no longer a finite energy blow-up solution. Interestingly enough, there are smooth finite energy blow-up solutions whose blow-up rates differ from the pseudoconformal rate by a power of logarithm. This result is based on the joint work [42] with S. Kwon and Sung-Jin Oh. We obtain all these results via modulation analysis.

본 논문에서는 자기쌍대 천-사이먼스-슈뢰딩거 방정식(CSS)의 폭발 역학에 대해 알아본다. (CSS)는 $L^2$-임계 방정식이고 유사 등각 대칭을 가지며, 각 등변지표 $m \geq 0$마다 솔리톤 $Q$를 가진다는 사실이 잘 알려져있다. 또한 $Q$에 유사 등각 변환을 취하면 점근 프로파일이 $0$인 유한시간 폭발 해 $S(t)$를 얻을 수 있다. 본 논문에서는 먼저, 등변지표 $m$이 $1$이상인 경우에 $0$이 아닌 점근 프로파일을 가진 유사 등각 폭발 해를 만들고, 더 나아가 이러한 폭발 해들의 불안정성 메커니즘에 대해 알아본다. 덧붙여, 유사 등각 폭발 해가 여차원 $1$의 초기치 집합으로부터 발생할 수 있다는 것을 보인다. 위의 결과는 본 논문의 2, 3장에서 다룰 것이다. 마지막으로 4장에서는, 물리적으로 가장 관련성이 높지만 또 가장 다루기 어려운 구면대칭의 경우($m=0$)에 대해 알아본다. 이 경우, 위의 폭발 해 $S(t)$가 더이상 유한한 에너지를 가지지 않지만, 흥미롭게도 매끄럽고 유한한 에너지를 가진 폭발 해가 존재하며, 더 나아가 폭발 속도가 유사 등각 폭발 속도보다 로그의 거듭제곱만큼 다른 폭발 해를 만들 수 있다.

Bibliographic Information

Bibliographic Information
청구기호 {DMAS 21005
형태사항 iv, 286 p. : 삽화 ; 30 cm
언어 영어
일반주기 저자명의 한글표기 : 김기현
지도교수의 영문표기 : Soonsik Kwon
지도교수의 한글표기 : 권순식
Including Appendix
학위논문 학위논문(박사) - 한국과학기술원 : 수리과학과,
서지주기 References : p. 280-284
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