Statistical physics has the simplest form in the thermodynamic limit. However, especially in the uncharted territory of nonequilibrium phenomena and disordered systems, finding the thermodynamic limit is often made difficult by the absence of general formalism and strong finite-size effects. In order to overcome such difficulties, a systematic scaling analysis must be performed to filter out irrelevant properties. This thesis discusses a few examples of nonequilibrium processes in random media in which such scaling analysis provides useful information about the thermodynamic limit. Chapter 2 discusses the graphicaliy problem of scale-free networks, which is related to the geometric constraint on key structural parameters of many complex systems, namely the degree exponent $\gamma$ and the upper cutoff exponent $\alpha$. Using the graphicality criterion proved by Erd\H{o}s and Gallai, the realizable $\alpha$ is shown to be lower than $1/\gamma$ for $\gamma < 2$, whereas any upper cutoff is possible for $\gamma > 2$. This result is also numerically verified by random and deterministic samplings of degree sequences. Chapter 3 discusses the metastable states of zero-temperature Glauber dynamics on Erd\H{o}s--R\`{e}nyi networks, which concerns the fate of curvature-driven coarsening process in the quenched random media. Previous studies have been inconclusive about how close the system can approach the ground state after the quench from infinite to zero temperature. Simulations at various system sizes reveal that there exist two different self-averaging subgroups of metastable states, one approaching close to the ground state and the other staying far away. Scaling analysis suggests that the latter type might be asymptotically dominant, which implies the existence of large stable domain walls in the quenched random media. Chapter 4 discusses the totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) on directed random regular networks, which is a simple model of active transport in the interconnected one-dimensional (1D) systems. Simulation results show two important features that deviate from the mean-field theory of previous studies: the narrower range of shock phase and the presence of algebraic density decay with exponent $1/2$ even in the low-density and high-density phases. These anomalies are shown to be attributable to the 1D slow-bond effect, revealing the connections between network and 1D transport. Chapter 5 discusses the airplane boarding process as an example of structural disorder influencing the scaling properties of dynamics. Based on a simple discrete-event simulation, a systematic analysis of finite-size effects is presented, which produces a comprehensive view of the role of sequential disorder in the scaling behavior of boarding time. It is found that the scaling behavior depends on the number of seat columns and the range of sequential disorder, giving rise to new scaling exponents as disorder is localized to varying extents.\\

통계물리학은 열역학적 극한을 이용해 미시세계와 거시세계의 연결 고리를 찾는 학문이다. 그러나 비평형 상태 또는 무질서한 구조를 가진 계의 열역학적 극한은 기술하기 어렵다. 이를 위한 일반적인 이론이 정립되지 않았을 뿐더러, 강한 유한크기 효과 때문에 정답을 수치적으로 추정하는 것도 쉽지 않다. 이 문제를 해결하기 위해서는 체계적인 눈금잡기 분석을 적용하여 거시적 성질의 결정 요인들을 명확히 판별해야 한다. 이 논문에서는 눈금잡기 분석을 이용해 마구잡이계에서 일어나는 비평형과정의 열역학적 극한을 구할 수 있는 대표적인 사례들을 논의한다. 첫 번째 사례는 척도 없는 그물망의 연결 가능성이다. 척도 없는 그물망은 이웃 수($k$) 분포가 멱함수 법칙[$P(k) \sim k^{-\gamma}$, $k \le cN^\alpha$]을 따르는 그물망으로, 멱함수의 지수 $\gamma$와 최대 이웃 수의 눈금잡기 지수 $\alpha$에 따라 구조가 변한다. 그물망의 두 점을 잇는 선을 한 개까지만 허용한다면, 이 조건을 만족하는 $\gamma$와 $\alpha$의 범위에 제한이 걸린다. 기존의 연구는 $\alpha = 1$인 경우에 한하여 $\gamma$의 범위를 구하였으나, 이 연구에서는 보다 일반적인 $\gamma$와 $\alpha$의 범위를 규명한다. 그래프 이론의 에르되시--갈라이 정리에 등장하는 부등식의 양변에 눈금잡기 분석을 적용하면, 성긴 그물망($\gamma > 2$)에서는 항상 연결가능성이 성립하지만 조밀한 그물망($\gamma < 2$)에서는 최대 이웃 수가 적절히($\alpha < 1/\gamma$) 제한되어야만 연결가능성이 성립함을 이론적으로 보일 수 있다. 이 결과는 수치적으로도 입증되며, 척도없는 조밀한 연결망의 존재를 시사하는 기존의 데이터에 부합한다. 두 번째 사례는 에르되시--레니 그물망에서의 자기 구역 성장이다. 무질서 상태에서 절대 영도로 급속히 냉각된 이징 스핀계는 수많은 자기 구역들이 서로 합쳐지고 성장하는 정렬 과정을 겪는다. 이 과정에서 각 구역벽은 표면 장력이 작용하는 경계면처럼 행동하는데, 그 결과 주기적 경계 조건을 가진 2차원 이상의 격자 구조에서는 거시적인 구역벽이 끝까지 유지된다. 이 연구에서는 글라우버 모형의 시늉내기 결과를 분석하여 무질서한 그물망에서도 같은 현상이 나타날 수 있음을 밝힌다. 시늉내기 결과에 따르면 최종 상태에서 나타나는 구역벽의 크기 분포는 겹봉우리 구조를 가지며, 각 봉우리는 미시적 구역벽과 거시적 구역벽에 해당한다. 그물망의 크기를 바꾸면서 각 봉우리의 크기와 너비에 눈금잡기 분석을 적용하면, 열역학적 극한에서는 항상 잘 정의된 크기의 거시적 구역벽이 마지막까지 유지됨을 알 수 있다. 이는 계의 최종 상태가 준안정상태임을 보이는 것에 머물렀던 기존 연구들을 보완하는 결과다. 세 번째 사례는 이웃 수가 고정된 무질서 그물망에서의 비평형 능동 수송 현상이다. TASEP은 능동 수송을 설명하는 가장 단순한 모형으로 균일한 1차원 격자 구조에 한하여 정확한 기술 방법이 알려져 있다. 최근 세포 안 미세소관에서의 수송 현상을 묘사하기 위해, 1차원 TASEP의 잘 알려진 성질을 이용하여 그물망에서의 TASEP을 근사적으로 기술하려는 시도가 이루어지고 있다. 이 연구에서는 기존의 근사적 방법으로 예측한 수송체의 밀도--흐름 관계 및 분포 양상과 그물망의 크기를 달리하여 얻은 시늉내기 결과의 차이에 눈금잡기 분석을 적용하여, 근사적 예측과 실제 열역학적 극한 사이에 차이가 있음을 보인다. 요컨대, 그물망에서의 `교통 체증`은 근사적으로 예측한 것보다 더 제한적인 조건에서만 일어나며, 각 도로 위에서의 수송체 분포는 예측과는 달리 지수가 $1/2$인 멱함수 법칙을 따른다. 이러한 차이점들은 `저속 구간`이 섞인 1차원 TASEP이 보이는 특성들과 매우 유사하며, 그물망에서의 능동 수송 현상을 더 정확히 기술하기 위해서는 저속 구간의 효과가 반드시 고려되어야 함을 보여준다. 마지막 사례는 비행기의 좌석 수와 탑승 시간 사이의 눈금잡기 관계다. 탑승 과정은 승객의 입장 순서에 의해 소요 시간이 결정되는 능동 수송 과정으로 이해할 수 있다. 항공사의 탑승 정책과 각 승객의 자유도에 따라 입장 순서는 매우 다양한 무질서 구조를 가진다. 이 연구에서는 단순한 탑승 모형의 시늉내기를 통해, 탑승 시간의 눈금잡기 지수가 좌석의 열 개수와 예약률, 그리고 승객의 입장 순서가 무질서해지는 영역의 범위에 따라 결정됨을 보인다. 이는 최적화의 관점에서 탑승 문제를 접근했던 대부분의 기존 연구와는 달리, 무질서도와 눈금잡기 지수 사이의 관계에 초점을 두는 통계물리학적 관점에서 탑승 문제를 재해석했다는 의의가 있다.\\