Statistical mechanics is all about interactions. Without interactions, the collective behavior of many objects is the simple sum of that of each object and there is no surprising emergent behavior stemming from collectivity. Despite the explosive development of classical and quantum mechanics dealing with the fundamental force of nature and the characteristic of each separate interaction, the topological structure of interactions had been somewhat considered as a minor topic of research, except for the Euclidean dimension. The situation abruptly changed at the beginning of twenty-first century, as physicists, along with researchers from all kinds of disciplines, started to realize that there are much more complex structure of interactions and the researches on the interaction structures or $\It{network science}$ have 'emerged' and prospered to this day, as results from 'interactions' or collaborations among many scientists. This thesis is the record of our participation to those interactions. First, we study the statistical properties of the sampled scale-free networks, deeply related to the proper identification of various real-world networks. We exploit three methods of sampling and investigate the topological properties such as degree and betweenness centrality distribution, average path length, assortativity, and clustering coefficient of sampled networks compared with those of original networks. It is found that the quantities related to those properties in sampled networks appear to be estimated quite differently for each sampling method. We explain why such a biased estimation of quantities would emerge from the sampling procedure and give appropriate criteria for each sampling method to prevent the quantities from being overestimated or underestimated. The next topic is about our efforts to construct the relatedness networks. Recently, massive digital records have made it possible to analyze an enormous amount of data in various research fields, such as social network analysis and systems biology. We investigate weighted relatedness networks by extracting information on the World Wide Web. Using famous search engines such as Google, we quantify the relatedness between two objects as the number of webpages including both of their names and construct weighted relatedness networks. We take some representative examples in relatedness networks among people, measure the distributions of quantities of interest in weighted network analysis, and present a class of measure called Renyi disparity, which characterizes the homogeneity of weight distribution for an individual node. The concept of maximum relatedness subnetwork, which captures the most essential relation for each individual, is also introduced. As an example, we analyze the members of the 109th United States Senate and demonstrate that the methods of construction and analysis are applicable to various other weighted networks. Moving onto the biological interactions, we focus on the proteins, which are the basic units of biological functions. Proteins in organisms usually form protein complexes to perform cellular functions rather than act alone. We study the structure of protein complexes and their component proteins in the budding yeast in terms of the bipartite network, where the complexes and proteins are its two distinct components. From the bipartite network, weighted networks among complexes and among proteins are constructed, corresponding to one-mode projections of the bipartite network. Statistical properties of those networks are presented, along with the comparisons with the conventional protein-protein interaction networks. In addition, we suggest a new optimization method to determine the abundance and function of protein complexes based on the information of their global organization. With our new optimization method, we present genome-wide assignments of abundance and biological functions for complexes, as well as previously unknown functions of proteins, which can give significant hints for further investigations in proteomics. Some biologically relevant examples, such as the relationship between the cytoskeleton proteins and signal transduction and the protein Eno2`s involvement in the cell division process, are also presented. As a main part of this thesis, we present two topics of critical phenomena on networks, which can be considered as our major interests as physicists. First, we study a zero-temperature phase transition in the random field Ising model on scale-free networks with the degree exponent $\gamma$. Using an analytic mean-field theory, we find that the spins are always in the ordered phase for $\gamma \lt 3$. On the other hand, the spins undergo a phase transition from an ordered phase to a disordered phase as the dispersion of the random fields increases for $\gamma \gt 3$. The phase transition may be either continuous or discontinuous depending on the shape of the random field distribution. We derive the condition for the nature of the phase transition. Numerical simulations are performed to confirm the results. Secondly, Ising model is considered on annealed scale-free networks of finite system size with forced upper cutoff in degree, to systematically explore its finite-size effects on the critical behavior. By mapping the model onto the weighted fully connected Ising model, we derive analytic results for the finite-size scaling near the phase transition, characterized by the cutoff-dependent two-parameter scaling with four distinct scaling regimes, in highly heterogeneous networks. These results are essentially the same as those found for the nonequilibrium contact process in annealed scale-free networks, except for an additional complication due to the trivial critical point shift in finite systems. The discrepancy of the finite-size scaling theories between annealed and quenched scale-free networks still remains in the equilibrium Ising model, like some other nonequilibrium models. All of our analytic results are confirmed reasonably well by numerical simulations. Finally, we present our results on the competition or game-theoretical dynamics on networks, based on the minority game endowed with various substrate network structures. We observe the effects of the network topologies by investigating the volatility of the system and the structure of follower networks. The topology of substrate structures significantly influences the system efficiency represented by the volatility and such substrate networks are shown to amplify the herding effect and cause inefficiency in most cases. The follower networks emerging from the leadership structure show a power-law incoming degree distribution. This study shows the emergence of scale-free structures of leadership in the minority game and the effects of the interaction among players on the networked version of the game.

통계역학은 상호작용에 대한 것이다. 상호작용 없이는 많은 대상의 집합적 행동이란 각자 행동의 간단한 합에 지나지 않고, 집단성에 의해 나타나는 놀라운 창발(創發) 현상도 없다. 자연의 근본적인 힘과 개별 상호작용에 대한 고전/양자역학의 엄청난 발전에도 불구하고, 상호작용 자체의 위상적 구조에 대한 연구는 유클리드 차원을 제외하면 다소 중요하지 않은 것으로 간주되어 왔다. 하지만 21세기가 시작될 무렵, 물리학자들을 위시하여 온갖 분야의 연구자들이 세상에는 훨씬 더 복잡한 구조의 상호작용들이 있다는 사실을 깨닫기 시작하면서 상황이 완전히 변했고 이른바 연결망 과학이라 불리는, 상호작용의 연결망 구조에 대한 연구가 "연구자들 간의 상호작용으로부터 창발"하여 오늘에 이르고 있다. 이 학위논문은 그러한 상호작용에 대한 우리의 참여 기록이다. 먼저, 우리는 실제 연결망의 올바른 구조 파악과 깊은 관련이 있는, 임의추출된 척도 없는 연결망의 통계적 성질에 대해 연구하였다. 세 가지의 임의추출 방식을 도입하여 연결선수와 사이성 중심도의 분포, 평균 경로 길이, 연결선수 유사성, 그리고 뭉침계수와 같은 연결망에서의 대표적인 성질을 원래 연결망과 임의추출된 연결망에서 비교 분석하였다. 각 임의추출 방식에 따라 그러한 양들이 완전히 다르게 측정될 수 있다는 사실이 발견되었다. 우리는 왜곡된 측정이 임의추출 과정에서 왜 발생하는지를 설명하였고, 그러한 오측정(誤測定)을 방지하기 위한 적절한 기준을 제시하였다. 다음 주제는 관계(關係) 연결망을 구성하기 위한 우리의 노력에 대한 것이다. 최근들어, 엄청난 디지털 기록으로 인해 사회 연결망 분석이나 시스템 생물학 같은 분야에서 매우 많은 양의 자료 분석이 가능해졌다. 우리는 월드와이드웹의 정보를 추출함으로써 가중치를 고려한 관계 연결망을 조사하였다. 구글과 같은 유명한 검색엔진을 이용하여, 두 가지 대상 간의 관계를 `그 두 대상을 같이 포함하는 웹페이지의 개수`로 정량화해서 관계 연결망을 구성하였다. 우리는 사람들 간의 관계 연결망들을 대표적인 예로 들어 가중치 연결망에서 주로 관심이 있는 여러 양들의 분포를 조사하였고, 개별 대상 주변의 관계 분포의 균일도 특성을 기술하는 `레니 불균형`이라는 측정량을 제시하였다. 또한, 각 대상의 입장에서 가장 필수적인 관계만을 뽑아낸 `최대 관계 부분연결망` 개념도 소개하였다. 특히 우리는 미국 109대 상원의원들을 예로 들어 분석하였고, 우리의 연결망 구성과 분석 방법이 다른 가중치 연결망에도 사용될 수 있음을 보였다. 생물학적 상호작용으로 넘어와서, 우리는 생물학적 기능의 기본 단위인 단백질에 주목하였다. 생물의 단백질은 혼자 작용하기보다는 주로 단백질 복합체를 형성하여 기능을 수행한다. 우리는 출아효모에서의 단백질 복합체와 그 구성 단백질들의 구조를 복합체, 단백질의 두 가지 구성 요소를 가진 양자(兩者)연결망의 관점에서 연구하였다. 이러한 연결망 구조로부터, 양자 연결망으로부터의 한 구성 요소로의 사영(射影)에 해당하는, 가중치를 둔 복합체들 간의 연결망과 단백질들 간의 연결망을 구성하였다. 그러한 연결망들의 통계적 성질을 제시하였고, 기존의 단백질-단백질 상호작용 연결망과 비교하였다. 또한, 우리는 단백질 복합체의 세포 내에서의 양(量)과 생물학적 기능을 지정하는 새로운 최적화 방법을 제안하였다. 우리의 새로운 방법을 이용하여, 복합체와 기존에 알려지지 않았던 개별 단백질의 양과 기능을 전체 유전자 수준으로 지정하였으며, 이것은 앞으로의 단백질 연구에 중요한 암시를 줄 수 있을 것이다. 세포뼈대 단백질과 세포 내 신호 변환 간의 관계라든지 Eno2 단백질이 세포 분열 과정에 관여하는 것 등의 생물학적으로 적절한 예도 제시하였다. 학위논문의 주요 부분으로서, 물리학자로서의 중요 관심사라고 할 수 있는 연결망에서의 임계현상에 대한 두 가지 주제를 제시하였다. 우선, 연결선수 감소지수가 $\gamma$인 척도 없는 연결망에서 무작위 외부 자기장이 걸린 이징 모형의 영도(零度) 상전이를 연구하였다. 해석적인 평균장 이론을 이용하여, 우리는 $\gamma \lt 3$일 때는 스핀이 언제나 정렬된 상(相)에 있음을 발견하였다. 반면에, $\gamma \gt 3$ 일 때는 스핀이 정렬된 상에서 정렬되지 않은 상으로의 상전이를 한다. 이 상전이는 무작위 외부 자기장의 분포 형태에 따라 연속 또는 불연속 상전이가 될 수 있다. 우리는 이러한 상전이의 특성에 대한 기준을 유도하였으며, 그 결과를 확인하기 위한 전산 시늉내기를 수행하였다. 두 번째로, 연결선수 상한선을 둔 유한한 크기의 벼린 척도 없는 연결망에서의 이징 모형을 고려하여, 그것의 유한 크기 효과가 임계행동에 미치는 영향을 체계적으로 연구하였다. 모형을 가중치를 둔 모두 연결된 이징 모형으로 사상(寫像)하여, 상전이 근방에서의 유한크기 눈금잡기의 해석적 결과를 유도하였고, 매우 불균일한 연결망에서는 연결선수 상한선에 따라 두 가지 매개변수로 결정되는 네 가지 다른 눈금잡기 영역이 나타남을 보였다. 이러한 결과는 유한한 계에서 나타나는 사소한 임계점 이동을 제외하면 벼린 척도 없는 연결망에서의 비평형 접촉과정에서 발견된 결과와 본질적으로 같다. 다른 비평형 모형에서와 마찬가지로, 평형 이징 모형에서도 벼린 척도 없는 연결망과 고정된 척도 없는 연결망에서 유한크기 눈금잡기 이론의 불일치가 남아 있는 것이다. 우리의 모든 해석적 결과는 전산 시늉내기를 통해 잘 확인되었다. 최종적으로, 우리는 각종 기반 연결망 구조에서의 소수(少數)자 게임을 바탕으로 한, 연결망에서의 경쟁/게임이론 동역학 결과를 제시하였다. 연결망 위상이 미치는 영향을, 계의 변동성과 추종자 연결망의 구조를 분석함으로써 관찰하였다. 기반 연결망의 위상은 변동성으로 대표되는 계의 비효율성에 영향을 미치며, 대체로 그러한 기반 연결망의 존재는 군중 효과를 증폭시켜 비효율성을 일으킨다. 지도력 구조로부터 파생된 추종자 연결망의 구조는 멱급수 분포의 들어오는 연결선수를 보였다. 이 연구는 소수자 게임에서의 척도 없는 지도력 구성 창발과, 연결망 형태의 게임에서 구성원들 간의 상호작용이 미치는 영향을 보여준다.