In the field of computational fluid dynamics, it is important to obtain accurate flow solutions from the given problems by using proper numerical methods. Especially when capturing sound waves, which contain relatively small variation in flow variables, numerous numbers of grid points are required to capture these with high accuracy by using general numerical methods. However, since this methods requires large computational time and computer resources, it is considered to be inefficient. To solve this problem, high-order schemes have been recently investigated. Since high-accurate flow solutions can be achieved with a limited number of grid points by using this method, its importance is growing along with the development of the aero-acoustics. The WENO scheme is one of these high-order schemes, which is most widely used.
However, the WENO scheme was later reported to lose its accuracy near smooth extrema in the flow field. This problem was revealed to be originated from the weighting function, which excessively nullifies the stencil to preserve the stability of the scheme. To overcome this problem, the WENO-M scheme was first introduced by adopting a mapping function, followed by the WENO-Z scheme and the ESWENO scheme, which solved the computational cost problem of the WENO-M scheme. In addition, to increase the resolution of the WENO family scheme even on relatively coarse meshes, the WENO-ZP scheme was proposed by introducing a fine-tuning term to the weighting function. However, the ESWENO scheme showed some numerical instabilities near strong discontinuities, especially for the 7th order accuracy. Also, the WENO-ZP depended hugely on the user-defined parameter contained in the fine-tuning term, and this parameter had to be adjusted for each flow problems. To overcome these limitations, the ESWENO-P scheme was proposed by the authors of the present paper by adding a parameter to the weighting function of the ESWENO scheme, and further applying the fine-tuning term to this modified weighting term. In addition, the general values of the user-defined parameter were set through parametric studies.
The proposed ESWENO-P scheme was first validated through one-dimensional flow problems, including Sod problem, Lax problem, Shu-Osher problem and Titarev-Toro problem. Then, it was further extended to two-dimensional flow problems, including stationary vortex problem, vortex convection problem and supersonic bump problem. Furthermore, the resolution of the flow solutions between the WENO family schemes were compared for two-dimensional AVI problems. Finally, the ESWENO-P scheme was adopted for three-dimensional flow problems, including three-dimensional explosion test case, inviscid Caradonna Tung in hover, and three-dimensional BVI problem. For all flow problems, It was found that the present ESWENO-P resolves flow solutions with higher resolution, while maintaining its stability at the same time.
전산유체역학은 여러 수치적 기법을 통해 주어진 유동 문제에 대하여 정확한 해를 얻는 것을 주 목적으로 한다. 특히, 상대적으로 유동 변동의 크기가 매우 작은 음파를 관측해야 할 경우, 일반 적인 전산유체역학 수치 기법을 사용해서는 매우 많은 수의 격자를 사용하여야만 높은 정확도로 이러한 음파를 관측할 수 있다. 하지만 이 방법은 매우 큰 해석 시간 및 컴퓨터 자원을 요구하기 때문에 비효율이다. 이러한 문제를 해결하기 위해, 최근에는 고차정확도의 수치 기법 연구가 활발히 진행되고 있다. 이 기법은 비교적 적은 수의 격자로도 높은 정확도의 해를 얻을 수 있기에, 최근 공력음향학의 발달과 더불어 그 중요성이 커지고 있다. 이러한 고차정확도의 기법 중 가장 널리 쓰이는 수치 기법은 WENO scheme이다.
하지만 이 WENO scheme은 추후 국부적으로 극점이 존재하는 유동장을 해석하는 데 있어, 해의 해상도가 떨어진다고 알려졌다. 이러한 문제는, WENO scheme에서 수치 기법의 안정성을 증가시키기 위하여 도입한 weighting function이 너무 과도하게 작용하기 때문으로 밝혀졌다. 이러한 문제를 해결하기 위하여, mapping function을 이용한 WENO-M scheme이 가장 먼저 개발되었으며, WENO-M scheme의 계산량 문제를 해결한 WENO-Z scheme, ESWENO scheme이 잇달아 개발되었다. 또 한, 최근에는 비교적 성긴 격자에서도 WENO 계열 scheme의 해상도를 증가시키기 위하여 미세 조정 항을 weighting function에 도입한 WENO-ZP scheme도 제안이 되었다.
하지만, 새롭게 제안된 ESWENO scheme은 특히 7차 정확도에서 수치적 불안정성이 크게 나타나는 것으로 보여졌다. 또한, WENO-ZP scheme의 경우, 미세 조정 항에 포함된 사용자가 설정해야 하는 파라미터에 의하여 수치 기법의 해상도가 너무 크게 바뀌며, 이 값 또한 주어진 유동 문제에 대 하여 각각 다르게 설정되어야 한다는 큰 문제가 있는 것으로 밝혀졌다. 이러한 문제를 해결하기 위해, 우선 본 연구진은 새로운 파라미터를 ESWENO scheme의 가중치 식에 적용하였다. 이후, WENO-ZP scheme에서 제안된 미세 조정 항을 수정된 가중치 식에 추가로 적용하였으며, 미세 조정 항에 포함된 사용자 설정 파라미터에 대해 parametric study를 수행하여 최적의 값을 제안하였다.
이렇게 제안된 ESWENO-P scheme를 Sod, Lax의 shock tube 문제와 Shu-Osher, Titarev-Toro의 shock entropy 문제와 같은 일차원 유동 문제에 적용하여 수치 기법 검증을 수행하였다. 더 나아가, 제자리 와류 문제, 와류의 대류 문제 및 초음속 bump 문제와 같은 이차원 유동 문제에 대해 서도 ESWENO-P scheme을 적용하여 검증을 수행하였으며, 2차원 AVI 문제에 적용하여 ESWENO-P scheme의 해상도를 다른 scheme과 비교하였다. 최종적으로 ESWENO-P scheme을 실제 삼차원 유동 문제에 적용하기 위하여, 3D explosion test case, 비점성 Caradonna Tung 제자리 비행 문제, 3차원 BVI 문제와 같은 삼차원 유동 문제에 ESWENO-P scheme을 적용하여 검증을 완료하였다. 위 해석을 통해 ESWENO-P scheme이 다른 WENO family scheme과 비슷한 계산량으로도 더 높은 해상도 및 안정성을 보이는 것을 확인하였으며, 더 높은 해상도로 와류 및 충격파, BVI 현상을 포착하는 것을 확인할 수 있었다.
