In this thesis, the neutron diffusion equation in reactor physics is discretized by the finite difference method and is solved on a parallel computer network which is composed of T-800 transputers. T-800 transputer is a message-passing type MIMD (multiple instruction streams and multiple data streams) architecture. A parallel variant of Schwarz alternating procedure for overlapping subdomains is developed with domain decomposition. The thesis provides convergence analysis and improvement of the convergence of the algorithm.
The convergence of the parallel Schwarz algorithms with DN(or ND), DD, NN, and mixed pseudo-boundary conditions(a weighted combination of Dirichlet and Neumann conditions) is analyzed for both continuous and discrete models in two-subdomain case and various underlying features are explored. The analysis shows that the convergence rate of the algorithm highly depends on the pseudo-boundary conditions and the theoretically best one is the mixed boundary conditions(MM conditions). Also it is shown that there may exist a significant discrepancy between continuous model analysis and discrete model analysis.
In order to accelerate the convergence of the parallel Schwarz algorithm, relaxation in pseudo-boundary conditions is introduced and the convergence analysis of the algorithm for two-subdomain case is carried out. The analysis shows that under-relaxation of the pseudo-boundary conditions accelerates the convergence of the parallel Schwarz algorithm if the convergence rate without relaxation is negative, and any relaxation(under or over) decelerates convergence if the convergence rate without relaxation is positive.
Numerical implementation of the parallel Schwarz algorithm on an MIMD system requires multi-level iterations: two levels for fixed source problems, three levels for eigenvalue problems. Performance of the algorithm turns out to be very sensitive to the iteration strategy. In general, multi-level iterations provide good performance when the number of inner level iterations are limited.
The analysis shows that mixed pseudo-boundary conditions have superior convergence properties if the pseudo-boundary parameters are optimally chosen. DN(or ND) conditions can be efficiently accelerated via under-relaxation concept, where DN(or ND) means that Dirichlet and Neumann conditions are independently imposed on neighbouring pseudo-boundaries. However, exact realization of such schemes is not practical since complete inner iteration is required. It is shown that limiting the number of inner iterations is equivalent to the under-relaxation concept, however, limiting the number of inner level iterations in MM scheme requires more outer iterations. Consequently, DN (or ND) algorithm with under-relaxation and MM algorithm may provide similar parallel performance in practical implementation, if the numerical solver used is not extraordinarily efficient.
The parallel Schwarz algorithm is applied to two types of reactor benchmark problems: fixed source problems and eigenvalue problems. Several results of parallel computation for the problems are reported and compared with those of sequential computations. The results show that very high speedup can be achieved in fixed source problems in spite of the small problem size and that relatively high speedup, although lower than that of fixed source problems, can be obtained in eigenvalue problems.
T-800 트랜스퓨터로 이루어진 병렬컴퓨터 시스템을 구성하고 유한차분법(Finite Difference Method)을 통하여 차분화된 중성자 확산방정식의 해를 구하였다. T-800 트랜스퓨터는 프로세서간에 직렬연결을 통하여 정보를 교환하는 방식의 MIMD(Multiple Instruction Streams and Multiple Data Streams) 구조를 가지는 병렬처리 시스템이다. 차분화된 중성자 확산방정식의 병렬해를 구하기 위하여 중첩영역분할 병렬알고리즘의 일종인 Schwarz 병렬알고리즘을 이용하였다.
Schwarz 병렬알고리즘의 수렴성질을 파악하기 위하여 DN(혹은 ND), DD, NN, 그리고 혼합형식(Dirichlet 정보와 Neumann정보의 결합 형식)의 준경계조건(Pseudo-Boundary Conditions)을 갖는 병렬알고리즘에 대한 수렴분석을 연속모델(Continuous Model)과 차분모델(Discrete Model)을 사용하여 수행하여 다양한 수렴성질을 파악하였다. 수렴분석의 결과 Schwarz 병렬알고리즘의 수렴성(Convergence Rate)은 사용하는 준경계조건에 따라서 매우 차이가 나며, 혼합준경계조건을 사용하는 것이 가장 좋은 수렴성을 가질 수 있음을 보였다. 또한 연속모델을 사용한 수렴분석은 차분모델을 사용하여 얻은 결과와 상당한 오차가 있음을 밝힘으로써 정확한 수렴성질의 분석을 위해서는 실제모델, 즉 차분화된 모델에 관한 분석을 하여야 함을 보였다.
한편 본 논문에서는 Schwarz 병렬알고리즘의 수렴성을 가속시키기 위해서 준경계조건에 Relaxation 인자를 도입하여 수렴성에 대한 이론적인 분석을 수행하였으며, 수렴분석의 결과로 다음과 같은 사실을 알 수 있었다. 만약 Relaxation을 고려하지 않았을 때의 수렴인자(Convergence Factor)가 양수라면 준경계조건에 Relaxation인자를 고려하는 것은 수렴성질을 보다 나쁘게 한다. 그러나 만약 음수라면 Under-Relaxation을 통하여 보다 빠른 수렴인자를 얻을 수 있다. 이는 병렬 Schwarz 알고리즘에서는 수렴인자가 음수이면 준경계에서의 경계면 정보가 실제의 경계조건을 축으로 하여 진동하는 현상을 가지기 때문이다.
일반적으로 Schwarz 병렬알고리즘을 MIMD 병렬컴퓨터에서 실제 사용할 때는 다중의 반복계산형식이 필요하다. 고정선원 문제(Fixed Source Problem)인 경우는 이중(Inner/Outer)의 반복계산이 요구되고 고유치 문제에서는 삼중(Inner/Pseudo-Boundary/Outer) 반복계산이 필요하다. 이들 반복계산을 어떻게 하느냐에 따라서 병렬 계산의 효율이 매우 달라질 수 있으며, 일반적으로 내부반복계산의 횟수를 효과적으로 제한함으로써 계산시간을 최소로 할 수 있다.
혼합준경계조건은 Dirichlet 정보와 Neumann 정보를 알맞게 결합함으로써 다른 형태의 준경계조건보다 매우 좋은 수렴성을 가짐을 밝혔으며, 또한 인접하는 두 준경계에서 서로 다른 경계조건(Dirichlet 혹은 Neumann)을 이용하는 DN(혹은 ND) 준경계조건은 Under-Relaxation을 통하여 가속이 가능함을 보였다. 한편 Under-Relaxation은 내부계산의 횟수를 제한하는 것과 유사한 효과를 가진다. 따라서 DN(혹은 ND) 준경계조건에서는 내부반복계산의 횟수를 제한함으로써 Under-Relaxation을 효과적으로 이용할 수 있다. 그러나 혼합준경계조건은 내부반복계산의 횟수를 제한하면 수렴성이 나빠질 수 있다. 이는 혼합준경계조건의 좋은 수렴성은 내부반복이 충분히 이루어진다는 전제하에서 가능하기 때문이다. 결과적으로 실제의 병렬계산에 있어서는, 만약 내부반복계산에서 극히 효과적인 수치방법을 사용하지 않는다면, Under-Relaxation에 의하여 가속된 DN(혹은 ND) 준경계조건을 사용하는 병렬알고리즘은 혼합경계조건을 사용할 때와 비슷한 병렬계산 효과를 제공할 수 있다.
Schwarz 병렬알고리즘을 원자로 고정선원 문제 및 고유치 문제에 적용하여 다양한 수치적 결과를 얻었으며, 병렬계산의 결과를 직렬계산의 것과 비교하여 보았다. 고정선원 문제의 경우 매우 높은 속도이득(Speedup)을 얻을 수 있음을 보였다. 특히 최대 내부반복계산 횟수를 알맞게 취하는 경우 초선형(Superlinear)의 속도이득이 가능하였다. 한편 고유치 문제의 경우에는 고정선원의 경우에 비하여 약간 낮은 속도이득을 얻을 수 있었다. 그러나 본 논문에서 다룬 문제의 크기를 고려할 때 여기서 새롭게 제시한 병렬 Schwarz 알고리즘이 효율적으로 원자로 고유치문제의 해를 구할 수 있음을 보여 주었다.
