Necessary and sufficient conditions for an orthogonal polynomial system (OPS) to satisfy a differential equation with polynomial coefficients of form
$L_N[y]=\sum^N_{i=1}\ell_i(x)y^{(i)}(x)=\lambda_ny(x)$
were found by H.L.Krall and he Classified orthogonal polynomials satisfying fourth order differential equation. Here, we find a necessary condition for the above differential equation with N=4 to have an OPS as solution and using the new condition, we classify all orthogonal polynomials satisfying the fourth order differential equation up to real change of variable.
본 논문에서는 4차 미분다항식이 직교다항식을 해로 갖기 위한 필요조건을 찾고, 이 조건을 근거로 하여 4차 미분방정식을 만족하는 직교다항식을 분류한다.
4차 미분방정식이 직교다항식을 해로 갖기 위해서는 4차 계수다항식은 어떤 2차 다항식의 제곱이며, 3차 계수다항식은 이 2차 다항식을 인수로 가져야 한다는 성질을 찾아낸다. 그리고, 실수 일차 변환을 이용하여 4차 미분방정식을 만족하는 직교다항식을 완전히 분류한다.
