In this thesis, we consider unimodular scaling functions and unimodular wavelets whose Fourier transforms are supported in a finite disjoint union of closed intervals. We characterize unimodular scaling functions and as application we give another method to produce unimodular wavelets. We characterize those unimodular wavelets which can be associated to multiresolution analysis. As an application, we can completely determine whether a wavelet from a class of unimodular wavelets of Ha et al. in Michigan Math. J.(1994) can be associated with multiresolution analysis or not.
Wavelet이 multiresolution analysis(MRA)로 부터 만들어지기 위한 필요충분 조건을 찾는 것은 아직까지 남겨진 open problem이다. 최근에 발표된 논문("Unimodular wavelets for $L^2$ and the Hardy space $H^2$", Michigan Math. J. 41 ,1994)에서는 MRA로 부터 만들어지지 않는 wavelet을 다수 포함하는 unimodular wavelet이 소개되었다. 본 논문에서는 unimodular wavelet이 MRA로 부터 만들어지기 위한 필요충분조건을 제시하였다. Unimodular scaling 함수가 만족하는 동치조건을 찾고 이것으로부터 unimodular wavelet이 만들어짐을 보였으며 아직까지 알려지지 않은 새로운 형태의 unimodular wavelet도 만들었다. 그리고 MRA로 부터 만들어진 unimodular wavelet의 scaling 함수가 unimodular 함수임을 증명하였고 unimodular wavelet이 MRA에서 만들어지는 필요충분 조건을 찾았다. 이러한 결과를 토대로 위의 논문에서 제시한 모든 예에 대하여 위 문제에 대한 해답을 제시하였다.
