The simple arcs with fixed end in the pucntured plane is a special case of 1 lases. In order to classify the isotopy classes of 1 lace on the pucntured plane, we approch by two way, the geometric view point and algebraic view point.
In the geometrical view point, the isotopy classes of 1 lace in the pucntured plane can be identified to the integer pair (r, s) which satisfy rs ≥ O, ｜r｜≠ (2m+1)n+m and ｜s｜≠ (2m+1) k for each n, k ≥ 0 and m ≥ 1. And the cobordism classes of 1 laces in the pucntured plane can be identified to the infinite cyclic group Z.
In the algebraic view point, the isotopy classes can be identified to the coset ＜ A_{1,3},A_{2,3} ＞ / ＜ A_{1,3}A_{2.3}＞.
단공평면에서의 끝이 고정된 단순 곡선은 1-레이스의 특별한 경우로 생각 할 수 있다. 단공평면상에서 1-레이스의 동위류를 분류 하기위해서 기하적인 관점과 대수적인 관점에서 접근하였다. 먼저 기하적인 관점에서는, 임의의 n, k ≥ 0와 m ≥ 1에 대하여. rs ≥ 0, ｜r｜≠ (2m+1)n+m 와 ｜s｜≠ (2m+1) k의 식을 만족하는 정수들의 순서쌍 (r, s)와 1-레이스의 동위류들을 동일시 할 수 있다. 그리고 1-레이스의 동계류는 정수의 집합, Z와 동일시 할 수 있다.
대수적인 관점에서의 동위류들은 ＜A_{1,3}, A_{2,3}＞ / ＜A_{1,3}A_{2,3}＞로 표시되는 잉여류와 동일시 된다.
