In [5], Karlin and Szego conjectured : If ${P_n(x)}^∞_{n=0}$ is an orthogonal polynomial system and ${P'_{n}(x)}^∞_{n=1}$ is a Sturm sequence, then ${P_n(x)}^∞_{n=0}$ is essentially (that is, after a linear change of variable) a classical orthogonal polynomial system of Jacobi, Laguerre, or Hermite. Here, we prove that for any orthogonal polynomial system ${P_n(x)}^∞_{n=0}$, ${P'_{n}(x)}^∞_{n=1}$ is always a Sturm sequence. Thus, in particular, the above conjecture by Karlin and Szeg$ö$ is false.
And zero distribution of the polynomials ${S_{n}(x)}^∞_{n=0}$ which are orthogonal with respect to the discrete Sobolev inner product type.
＜f,g> = ∫_If(x)g(x)dμ(x)+$Nf^{(r)}(c)g^{(r)}(c)$
where I is a real interval, with I = [a,b], a,b ∈ R, N ≥ 0, r ≥ 1, c ≥ b and let μ(x) be an arbitrary distribution function on I. $S_{n}(x)$ has n real, simple zeros. The location of these zeros is given in relation to the position of the zeros of some classical polynomials (i.e., polynomials with respect to an inner product with N=0).
1961년에 Karlin 과 Szego는 세가지의 문제(conjecture)를 만들었다. 첫번째와 세번째는 Al-Salam 과 Chihara 그리고 Hahn이 그 문제에 대해 대답했었다. 그리고 두번째 문제 (만약 다항식 ${P_n(x)}^∞_{n=0}$이 직교다항식이고 ${P'_{n}(x)}^∞_{n=1}$이 Sturm sequence가 된다면 ${P_n(x)}^∞_{n=0}$이 고전 직교다항식이 되는가?)는 지금까지 풀지 못한 상태로 남아 있었다.
우리는 ${P_n(x)}^∞_{n=0}$이 직교다항식이면 ${P'_{n}(x)}^∞_{n=1}$은 Sturm sequence가 된다는 것을 발견하고 그 것으로 인해 이 문제가 성립하지 않는다는 것을 증명했다. 그리고 체비셰프 다항식(TPS)이 직교다항식(OPS)이 되기 위한 충분조건을 구했다.
최근에, Sobolev 형식의 직교다항식의 근의 분포에 대해서는 많은 연구가 있으며, 여기서는 어떤 Sobolev 형식의 직교다항식의 근의 일반적인 성질에 대해 논의 하고자 한다.
