Gauss-type quadratures formulae (Gaussian quadrature, Gauss-Radau rule and Gauss-Lobatto rule) for analytic functions with Chebyshev weight functions, have been known for a long time. Recently, many authors [20][23] considered the Gaussian quadrature formulae for the Bernstein-Szego weight functions. Kaneko and Xu [14] established that application of the quadrature scheme yields numerical solutions of the weakly singular Fredholm integral equation of the second kind. For analytic functions it is well-known that the remainder term can be represented by the contour integral. In this work we present the $L^2$-estimation for the kernel $K_n$ of the remainder term with respect to one of four Chebyshev weight functions and the error bound of the type on the elliptic contour
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where l(Γ) denotes the length of the contour Γ and give an expression for the kernel $K_n$ of the remainder terms for Gauss-Radau and Gauss-Lobatto rules with end points of multiplicity r using the Laurent series expansion. Also we prove the convergence of kernel $K_n$ and obtain the error bound of the type
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on the circular and elliptic contours.
가우스 타입의 구적법(가우스 구적법, 가우스-라다우 그리고 가우스-로바토 규칙) - 특히 체비쇼프(Chebyshev)함수를 가중(weight)함수로 갖는 해석 (analytic)함수에 대한 - 은 오랫동안 알려져왔다. 최근에는 많은 사람들이 여러가지 다른 가중함수에 대한 가우스 타입의 구적법에 대해서 연구를 하고 있고 이러한 구적법 개형은 약한 특이 적분 방정식(weakly singular integral equation)의 수치 해를 구하는데도 응용되고 있다. 사실 가우스 타입을 사용하는데는 몇가지의 불편한 점들이 있다. 그럼에도 불구하고 많은 경우에서 가우스 타입의 빠른 수렴성(convergence) 때문에 그 몇가지의 불편한 점들은 대개 중요한 문제가 되지 않는 다. 해석함수에 대해서 잉여항은 contour 적분으로 표시될 수 있다는 것은 잘 알려진 사실이다.
본 논문에서는 체비쇼프 가중함수에 대한 잉여항의 핵(kernel)을 $L^2$ 노름(norm) 으로 계산하고 타원 곡선(elliptic contour) 위에서 오차한계(error bound)를 구하고 있다. 그리고 양끝점에서 중복도(multiplicity) r을 갖는 가우스-라다우와 가우스-로바토 규칙의 핵을 Laurent 급수를 이용해서 구하고 이 핵의 수렴성을 증명하고 원과 타원 위에서 오차한계를 구하고 있다.
