An elastic inclusion that has different material properties from the background elastic body induces a perturbation for a given far-field loading. This perturbation admits a multipole expansion whose coefficients are called the Elastic moment tensors (EMTs), which can be obtained from the exterior measurements of the field perturbation The EMTs contain information on the material and geometric properties of the inclusion, and they have been used as building blocks in the inverse problems of recovering the elastic inclusions from the exterior measurements. By the asymptotic analysis, the shape derivative of the EMTs can be expressed as a boundary integral in terms of the shape deformation of the inclusion. Based on this integral formula, an iterative optimization method to reconstruct the inclusion was derived. In this paper, we consider the shape derivative of the EMTs assuming that the inclusion is a small deformation of a disk, which can be approximated by the lower order terms of the EMTs. In particular, by employing the complex formulation for the solution to the linear elasticity problem in two dimensions, we explicitly express the shape derivative in terms of the Fourier coefficients of the shape deformation function from the disk. This expression provides us an analytic shape recovery formula for the elastic inclusion.
배경 탄성체와 다른 재료 특성을 가진 탄성 내포물은 주어진 원거리 장 하중에 대해 섭동을 유발합니다. 이 섭동은 계수를 탄성 모멘트 텐서 (EMT)라고 부르는 다극 확장을 허용하며, 이는 필드 섭동의 외부 측정에서 얻을 수 있습니다. EMT는 내포물의 재료 및 기하학적 특성에 대한 정보를 포함하며, 외부 측정에서 탄성 내 포물을 복구하는 역 문제의 구성 요소로 사용되었습니다. 점근 분석을 통해 EMT의 형상 미분은 Inclusion의 형상 변형 측면에서 경계 적분으로 표현할 수 있습니다. 이 적분 공식을 기반으로 포함을 재구성하기 위한 반복 최적화 방법이 도출되었습니다. 이 논문에서 우리는 포함이 디스크의 작은 변형이라고 가정하고 EMT의 모양 도함수를 고려하며, 이는 EMT의 낮은 차수 항으로 근사할 수 있습니다. 특히,선형 탄성 문제에 대한 해답을 2 차원으로 복소수 식을 이용하여 디스크에서 형상 변형 함수의 푸리에 계수로 형상 미분을 명시 적으로 표현 하였습니다. 이 표현은 탄성 내포물에 대한 분석적 형태 복구 공식을 제공합니다.
