We study two important issues that arise in modern mathematical finance. The first issue is the estimation of a path-dependent derivative. Unlike a vanilla option, path-dependent derivatives have no closed-form solution for its value and Greeks in general. Hence the general approach is to use the Euler scheme but it has the shortcoming that the simulation results have bias. To resolve this, we devise an exact simulation scheme for the boundary hitting time of Brownian motion, and then we use this to estimate the value and the Greeks of a path-dependent derivative efficiently. The second issue is the correlation skew in equity markets that stand out especially when market collapses. Though there have been an evident correlation skew in equity markets, most of models handle the correlation as a fixed constant derived from its historical correlation. To reflect this phenomenon to the modelling and to the estimation of multi-asset derivatives, we derive a local correlation model of which dynamic is determined by the volatilities of underlying assets. And we demonstrate from experiments that our correlation model outperforms the use of a historical correlation in its forecasting ability.
우리는 현대 금융수학에서 발생하는 두 가지 중요한 문제들을 대해 연구하였다. 첫번째 문제는 경로의존 성질을 가지는 파생상품의 평가이다. 바닐라 옵션과는 다르게 경로의존 성질을 가지는 파생상품의 경우엔 그 가격이나 민감도에 대한 해석적인 해가 존재하지 않는다. 따라서 오일러 스킴을 사용해서 시뮬레이션하는 것이 일반적인 접근법이지만, 이 경우 결과값에 편향이 생긴다는 단점이 있다. 이를 해결하기 위해서 우리는 브라우니안 모션의 경계 도달 시간에 대한 불편추정량을 추출하는 방법을 고안하였으며, 이를 이용하여 경로 의존 성질을 가지는 파생상품의 가격과 민감도를 효과적으로 추정할 수 있었다. 두번째 문제는 주식시장에서 나타나는 상관계수의 비대칭성이다. 주식 시장이 명확한 상관계수의 비대칭성을 보여왔음에도 불구하고, 기존의 많은 모델들은 상관계수를 단순히 역사적 상관계수로부터 측정되는 상수로 다루고 있다. 여러 개의 기초자산을 가지는 파생상품의 모델링과 평가에 이러한 현상을 제대로 반영하기 위해서, 우리는 기초자산의 변동성에 의해 결정되는 지역 상관계수 모델을 개발하였다. 또한 실험을 통하여, 우리의 상관계수 모델이 예측 능력에 있어 역사적 상관계수 대비 높은 효율을 보임을 증명하였다.
