In this paper, we propose a matryoshka structure of higher secant varieties which includes many matryoshka phenomena in the category of higher secant varieties, and which generalizes certain celebrated classical results in the study of syzygy to higher secant varieties. For example, we prove a generalized $K_{p,1}$ theorem for higher secant varieties, the syzygetic and geometric characterizations of minimal degree higher secant varieties, defined by Ciliberto and Russo ([15]), and del Pezzo higher secant varieties, defined in this paper, and also give the determinantal presentation of higher secant varieties having minimal degree. These results come mainly from the structure of tangent cones to higher secant varieties and from inductive analyses of defining equations and their syzygies in relation to inner and tangential projections.
For our purposes, we prove a weak form of the generalized Bronowski's conjecture due to Ciliberto and Russo ([15]) that relates the identifiability for higher secant varieties to the geometry of tangential projections.
이 논문에서는 많은 마트료시카 현상을 포함하며 유명 고전 결과들을 일반화하는 고차 시컨트 다양체의 마트료시카 구조를 제안한다. 구체적으로, 고차 시컨트 다양체를 위한 일반화된 $K_{p,1}$ 정리, 최소 차수 고차 시컨트 다양체([15] 참고)와 델 페초 (del Pezzo) 고차 시컨트 다양체의 방정식과 관계식(syzygy)을 통한 특성화, 그리고 최소 차수 고차 시컨트 다양체의 행렬식 표현을 증명한다. 이러한 정리들은 고차 시컨트 다양체의 접뿔(tangent cone)이 가진 구조와, 내점 사영(inner projection)과 접공간 사영(tangential projection)을 이용한 방정식과 관계식의 귀납적 분석을 통해 나온다.
위 결과들을 얻기 위해 고차 시컨트 다양체의 분해 유일성과 접공간 사영의 기하를 연결하는 일반화된 브로노프스키 (Bronowski) 추측([15] 참고)의 약한 형태를 증명한다.
