We consider two different random matrix models, deformed Wigner matrices and products of unitarily invariant positive definite matrices. For deformed Wigner matrices, that are defined by the sum of Wigner and diagonal matrices, we prove that their linear eigenvalue statistics have asymptotically Gaussian fluctuation as the size of matrices diverges. For the second model, that is the product of two unitarily invariant matrices, we prove an optimal local law around the spectral edge. As its application, we prove eigenvalue rigidity and eigenvector delocalization around the edge.
본 논문에서는 각각 두 랜덤행렬의 합과 곱을 나타내는 두 가지 행렬 모형의 고유값 및 고유벡터가 다른 여러 랜덤행렬 모형에서도 보편적으로 나타나는 현상들을 보임을 증명하였다. 첫번째 모형은 변형 위그너 행렬로, 대각행렬과 위그너 행렬의 합으로 이루어져 있으며, 본 논문에서는 그 고유값의 선형 통계량이 행렬의 크기가 발산할 때 정규 분포를 따르는 변동을 가짐을 증명하였다. 두번째 모형은 두 유니타리불변 양의 정부호행렬들의 곱으로, 본 논문에서는 이 랜덤행렬의 스펙트럼의 최대점 근처에서 고윳값들의 국소적 법칙을 증명하였고 이를 적용하여 각 고유값이 분위수와 매우 가깝다는 것 등의 여러 결과들을 증명하였다.
