Shapes and interactions of objects play a nontrivial role in physics of the system they constitute, as evident from emergent phenomena and interactions observed from systems in equilibrium. Nevertheless, fundamental understanding of their effects on dynamical systems remains elusive. The central theme of this thesis is exploring how shapes of objects and interactions between them interplay with stochastic dynamics in a variety of systems.
The objects with different shapes exhibit stochastic dynamics distinctive from each other, which has an enormous potential for applications. This aspect is studied in the context of separation of enantiomers by flows. A number of recent experimental and numerical studies observed chiral separation by flows, yet general understanding is lacking, and common physical properties of flows that induce the separation have not been clarified. I introduce a theoretical framework to understand the stochastic motion of rigid chiral objects and specify the conditions required for a flow field to bring about the chiral separation. From parity symmetry argument, the essential role of rate-of-strain field is revealed. Equally crucial requirement that the flow field should be quasi-two-dimensional for effective separation is drawn based on the eigenmode analysis. I demonstrate these claims by Langevin dynamics simulations while fully implementing hydrodynamic interactions.
The Brownian trajectory is another example in which object shape plays a definitive role in its statistical properties. Statistics of the displacements measured on the Brownian trajectories deviate from the Gaussian distribution as the object becomes anisotropic. Thus, the shape information of the object can be retrieved from measures containing moments of fourth or higher orders, which, unfortunately, usually show poor statistical convergence. I suggest a measure derived from a gyration tensor and demonstrate its superior convergence in comparison to the fourth cumulant with exact analytic expressions and numerical confirmations. I further discuss how to derive the quartic measure with the least relative error.
Lastly, the effect of interactions between objects on the first-passage dynamics is studied by comparing random target searching of independent and interacting searchers. Despite typical examples of random searchings involve multiple interacting searchers, relevant studies have been restricted to the searchings in one-dimensional systems or a few limiting cases of higher dimensions by noninteracting searchers. Employing the order statistics and eigenmode analysis, I clarify how the searching time depends on the number of searchers in one- to three-dimensional domains while modulating the initial distribution of the searchers as well. The target searching with interacting searchers are analyzed by employing fluctuating hydrodynamics. Repulsive interactions are found to enhance the searching speed while attractions between the searchers impede the searching process. These theoretical expectations are verified with Brownian dynamics simulations.
물체의 모양과 물체 간 상호작용은 평형상태에서 계에 창발 되는 현상들 및 상호작용들에서 볼 수 있듯이 그 물체들이 구성하는 계의 물리적 성질의 결정에 중요한 역할을 한다. 그럼에도 불구하고, 동적인 계에서 이 요소들이 야기하는 효과에 대한 근원적 이해는 아직 얻어지지 않았다. 본 논문에서는 여러 계를 살펴보면서 물체의 모양 및 그들 간의 상호작용이 확률과정에 미치는 영향을 탐구한다.
모양이 다른 물체들은 확률 동역학계에서 서로 구분되는 운동양상을 보이며, 이 사실은 많은 응용가능성을 내포한다. 이 가능성을 유동을 이용한 거울상 이성질체를 연구함으로써 살펴본다. 최근 수행된 실험적 및 수치 해석적 연구들에서 유동이 거울상 이성질체를 분리할 수 있음이 보고되었으나, 그 원리가 잘 이해되지 않아서 유동이 이성질체 분리를 야기하기 위해 만족해야 하는 성질은 잘 알려지지 않았다. 본 논문에서는 모양이 변형되지 않는 거울상 이성질체의 확률적 운동을 이해하기 위한 이론적 체계를 도입하고 유동이 거울상 이성질체 분리를 야기하기 위해 만족해야 할 조건을 규명한다. 패리티 대칭 논법을 통해 변형률 흐름이 이성질체 분리에 필수적임을 밝히고 고유모드 분석을 통해 이성질체를 효과적으로 분리하기 위해서는 유동이 준이차원 흐름 형태를 띠어야 함을 제시한다. 또한 유체역학적 상호작용을 고려한 랑주뱅 동역학 시뮬레이션을 통해 위 이론적 예측들의 유효성을 입증하였다.
물체의 모양에 의해 그 통계적 성질이 크게 변화하는 계의 또 다른 사례로 브라운 운동을 하는 물체의 궤적에 대해 살펴본다. 브라운 궤적 상에서 측정한 변위에 대한 통계는 물체 모양의 비등방성이 커짐에 따라 정규분포에서 벗어나는 특징을 보인다. 따라서 4차 또는 그보다 차수가 높은 모멘트로 구성된 측정량을 통해 물체의 모양에 대한 정보를 읽을 수 있으나, 높은 차수의 모멘트를 포함한 측정량은 상대오차가 커서 통계적 성질이 좋지 않다. 본 논문에서는 선회 텐서(gyration tensor)에 기반을 둔 측정량을 제안하고 이 측정량의 4차 큐뮬런트에 대한 상대적 우수성을 해석적 및 수치 계산적 방법을 통해 보인다. 더 나아가 상대오차를 최소화하는 4차 측정량을 고안하는 방법에 대해 논의한다.
마지막으로 서로 독립적인 탐색자들과 상호작용하는 탐색자들에 의한 임의탐색 문제를 연구하여 동적인 계에서 일어나는 현상에 물체 간 상호작용이 미치는 영향에 대해 조망한다. 보통 임의탐색과정으로 기술되는 계들은 서로 상호작용하는 많은 수의 탐색자들을 포함하지만, 이와 관련된 연구들은 서로 상호작용하지 않는 탐색자들에 의한 1차원 공간에서의 탐색 또는 더 높은 차원의 공간에서는 몇몇 제한적 상황에서의 탐색 상황에 국한되어 왔다. 본 연구에서는 순번에 대한 통계(order statistics) 및 고유모드 분석을 통해 1부터 3차원까지의 공간에서 목표 탐색시간이 탐색자의 수 및 초기분포에 어떻게 의존하는지 살펴본다. 그 후, 서로 상호작용하는 탐색자들에 의한 목표 탐색과정을 요동유체역학(fluctuating hydrodynamics)을 통해 분석한다. 탐색자들이 서로에게 척력을 가할 때 탐색속력이 빨리지는 한편, 서로 인력을 가할 때는 탐색시간이 증가하는 결과를 얻었으며, 이를 브라운 동역학 시뮬레이션을 통해 검증하였다.
