The rank and border rank of a symmetric tensors are a generalization of the matrix rank to higher order tensors. Since symmetric tensors can be shown to be equivalent to homogeneous polynomials, this rank has an inherent connection to algebraic geometry. In particular, we can interpret the symmetric tensor rank as statements about the secant varieties of the Veronese embedding. This allows us to use techniques from linear algebra, algebraic geometry, and differential geometry to prove several bounds and properties of the rank and border rank, as well as computing specific values for certain types of polynomials.
대칭 텐서의 순위 및 경계 순위는 행렬 계수를 고차 텐서로 일반화 한 것이다. 대칭 텐서는 동차다항식과 동등한 것으로 표시 될 수 있기 때문에 이 순위는 대수기하학과 본질적으로 연결되어 있는데, 특히 대칭 텐서 순위를 베로네세 매장의 시컨트 다양체에 대한 설명으로 해석할 수 있다. 이를 통해 선형 대수, 대수 기하학 및 미분 기하학의 방법을 사용하여 특정 유형의 다항식에 대한 특정 값을 계산할뿐만 아니라 순위 및 경계 순위의 여러 경계 및 속성을 입증할 수 있다.
