We study the statistical decision process about detecting the presence of signal from a 'signal+noise' type matrix model with an additive Wigner noise. If the signal-to-noise ratio (SNR) is greater than the suitable value (called as a reconstruction threshold), then we can implement a reliable detection (known as a strong detection.) However, below that value, a strong type detection is impossible. In the latter case, we propose a specific hypothesis test that utilizes the linear spectral statistics of the data matrix (known as a weak detection.) Moreover, we obtain an error of the likelihood ratio test under the Gaussian noise, which is an optimal error by the Neymann-Pearson lemma, and it matches the error of the proposed test i.e., our test is optimal. Additionally, we can observe that our test does not depend on the distribution of the signal or the noise. The first part of our proof is based on the Gaussian interpolation method and the cavity method, as devised by Guerra and Talagrand in their study of the Sherrington--Kirkpatrick (SK) spin glass model. The second part is based on a central limit theorem for the linear spectral statistics of the general rank-$k$ spiked Wigner matrices.
이 논문에서 우리는 '신호+잡음' 형태의 자료 행렬에 유의미한 신호가 존재하는 가를 판단하기 위한 방법에 대해 다루고자 한다. 주어진 형태의 자료에 대한 감지 방법은 크게 강한 감지와 약한 감지의 두 가지로 나누어 볼 수 있다. 강한 감지는 어떤 합리적인 기준점을 정하고 신호 대 잡음비가 그 값을 넘는 경우 말 그대로 강한 신호에 대한 감지 방법을 일컫고 (특히 주성분 분석을 통해), 약한 감지의 경우 신호 대 잡음비가 그 기준점 보다 작은 경우에도 무작위로 추측하는 것 보다 더 합리적인 가설 검정을 통해 신호의 존재성을 판단할 수 있는 감지 방법이다. 이 논문에서는 강한 감지 방법을 위한 기준점을 최소 평균 제곱 복원 여부 및 인접성이라는 개념을 통해 찾아보고, 또한 그 기준점이 잡음이 정규분포 아닌 경우에 최적이 아니고 더 향상될 수 있음을 행렬 성분별로 선변환을 함으로서 보일 것이다. 그리고 그 기준점 보다 작은 신호 대 잡음비에서 선형 스펙트럼 통계량의 중심극한정리를 사용해 약한 감지를 위한 합리적 가설검정을 구성해 볼 것이다.
