Pseudo-Anosov homeomorphisms are a special type in the mapping class group of a surface. Among all mapping classes, pseudo-Anosov homeomorphisms play the most important role for understanding the mapping class group. However, it is difficult to imagine an easy example of pseudo-Anosov homeomorphism. In this paper, we introduce two constructions of pseudo-Anosov homeomorphisms. Penner and Thurston found sufficient conditions to obtain pseudo-Anosov homeomorphisms using Dehn twists with curves satisfying space filling condition. Furthermore, we will focus on some meaningful properties of the constructions. There is a natural question as follows: How many pseudo-Anosov homeomorphisms arise from their constructions? For this reason, using properties of the constructions, we will show the existences of pseudo-Anosov homeomorphisms not arising from their constructions.
Pseudo-Anosov 위상동형사상은 표면의 사상류군 내 위상동형사상의 종류 중 하나로, 사상류군의 이해를 도와주는 원소 중 가장 중요한 종류에 속한다. 다만 이 위상동형사상의 자명한 예시마저 떠올리기 쉽지 않은 게 사실이다. 본 논문에서는 pseudo-Anosov 위상동형사상을 구성하는 방법 두 가지를 살펴볼 것이다. Penner와 Thurston은 공간 채움 조건을 만족하는 곡선들에 대해 Dehn 꼬임으로 이루어진 위상동형사상들이 pseudo-Anosov가 되기 위한 충분조건을 제시하였다. 또한, 각 구성들이 어떤 의미 있는 특징을 가지는지 살펴볼 것이다. 주어진 구성이 얼마나 많은 pseudo-Anosov 위상동형사상을 만들 수 있는지 궁금증을 갖는 것은 상당히 자연스러운 질문이다. 따라서 각 구성들의 특징과 관련하여 주어진 구성으로 만들어지지 않는 함수의 존재를 밝혀낼 것이다.
