Nonnegative forms and sums of squares on a real projective variety are fundamental objects in real algebraic geometry. We are interested in finding conditions that the sets of nonnegative forms and sums of squares are the same and expressing the differences between them. If X is a totally real irreducible nondegenerate projective variety, every nonnegative quadratic form on X is a sum of squares if and only if X is a variety of minimal degree. Furthermore, if X is a totally real nondegenerate projective variety, the same property holds if and only if the Castelnuovo-Mumford regularity of X is 2. We classify that such varieties are linear joined consisting of varieties of minimal degree in their linear span. If there is a sum of square, which is not a nonnegative form on X, we find the differences of dimensions between faces determines by the same hyperplane. We define the Gap vector of X whose entries are the dimension differences and confirm some general properties. Finally, we introduce a new invariant called the quadratic persistence.
실사영다양체 위의 음이 아닌 형식과 제곱 합은 실대수기하학에서 기본적인 대상이다. 우리는 음이 아닌 형식과 제곱 합이 같을 조건과 둘 사이의 차이를 표현하는 것에 관심이 있다. X가 완전실다양체이고 비퇴화인 기약 사영다양체일 때, 그 위의 모든 음이 아닌 이차형식이 제곱 합이 되는 것은 X가 최소차수인 것과 동치이다. 더 나아가 X가 완전실사영다양체일 때, 같은 성질을 만족하는 것은 X의 Castelnuovo-Mumford 정칙성이 2인 것과 동치이다. 우리는 이러한 다양체가 자신의 선형 생성 위에서 최소차수가 되는 다양체들의 선형이음이라고 분류한다. 제곱 합이 아닌 음이 아닌 이차형식이 있는 경우 두 대상의 격차를 기술하기 위해 같은 초평면에 의해 정해지는 면의 차원 차이들을 구한다. 이를 성분으로 가지는 Gap vector를 정의하여 그 일반적인 성질을 확인한다. 마지막으로 새로운 불변량인 이차 지속성을 소개한다.
