In this study, it is proposed stress integration algorithm based on Finite Difference Method (FDM) for Crystal Plasticity Finite Element Method (CPFEM). Nonlinear equations should be solved in the Euler backward stress integration algorithm, thus the Newton-Raphson method where the first derivative of the resolved shear stress is required has been widely used. However, calculations of the derivatives are time consuming when the tensor exponential function is included in the integration algorithm. To effectively solve this complexity, the analytical first derivatives of the resolved shear stress were approximated by FDM. Also, finite element simulations were performed for numerical verification of the proposed algorithm. Considering the results, the proposed numerical algorithm could be the substitute of the Euler backward method based on analytical derivatives in view of accuracy, convergence, computational efficiency, and easy implementation.
Meanwhile, there are numerous grains in metals so that consideration of all the grains in CPFEM demands high computational cost. Therefore, Reduced Texture Methodology (RTM) was adopted with the proposed method to reduce the computational time. For the RTM, specific material parameters were calibrated to characterize anisotropic hardening. The predicted results from one element simulation showed a good agreement with the experimental data for the stress-strain curves including 0, 45 and 90 degrees from the rolling direction. Finally, circular cup drawing simulations were performed to validate the applicability of the RTM for macroscale finite element analysis. The predicted profiles of earing, which happens due to anisotropy, were compared with the experimental data, and the accuracy was evaluated. In addition, the results from the RTM with the proposed algorithm were compared with those with the Euler backward method based on analytical derivatives in terms of computational time and accuracy. The results showed that the RTM with the developed algorithm could be an alternative approach for continuum level advanced yield function such as Yld2004-18p.
본 연구에서는 결정소성 유한요소해석을 위한 유한차분법 기반의 응력적분법을 제안하였다. 오일러 후방법을 기반으로 한 응력적분법에서는 비선형 방정식을 계산하여야 하며, 분해 전단 응력의 미분값을 요구하는 뉴턴-랩슨 방법이 주로 사용된다. 하지만 분해 전단 응력의 미분은 텐서 지수함수가 포함된 결정소성 응력적분법에서 매우 복잡하다. 이를 해결하기 위해 본 연구에서는 유한차분법을 통해 분해 전단 응력의 미분값을 근사하였으며, 수치적 검증을 위한 유한요소해석을 수행하였다. 유한요소해석의 결과를 고려해 볼 때, 정확성, 수렴성, 계산 효율성, 그리고 적용의 용이성의 관점에서 제안된 수치적 방법은 이론적인 미분을 기반으로 한 오일러 후방법의 대안이 될 수 있음을 보였다.
한편 금속에는 무수히 많은 결정들이 존재하며, 모든 결정을 결정소성 유한요소해석에 고려하는 것은 높은 계산 비용을 요구한다. 따라서 계산 비용을 줄이기 위해 축소 집합조직 모델을 함께 사용하였으며, 주어진 재료상수들의 최적화를 수행하였다. 그리고 단일 요소 유한요소해석의 결과를 응력-변형률 선도 및 횡방향 변형률 선도에 대해 실험 결과와 비교해 보았으며, 정확성을 확인하였다. 마지막으로 거시적 관점에서의 유한요소해석을 위한 축소 집합조직 모델의 적용 가능성을 평가하기 위해 컵 드로잉 해석을 수행하였다. 그리고 이방성으로 인한 귀 발생 결과를 실험결과와 비교하였고 정확성을 확인하였다. 또한, 제안된 수치적 방법이 적용된 축소 집합조직 모델과 이론적인 미분 기반이 적용된 축소 집합조직 모델을 계산 시간과 정확성에 대하여 비교하였다. 결론적으로 개발된 수치적 방법을 적용한 축소 집합조직 모델은 Yld2004-18p와 같은 복잡한 항복 함수의 대안이 될 수 있음을 보였다.
