Relative navigation of spacecraft is one of the indispensable research tasks for space missions to utilize multiple satellites or to approach target object. In general, it is possible to obtain the navigation solution based on the GPS. However, the relative position and attitude have to only be estimated based on the equations of motions and sensor measurements in the case of the deep space mission or the proximity operation mission. That is, the accuracy of the navigation solution is determined by those two elements defined for the target object or point. In other worlds, true states may be different if the orbit information of the relative object or the precise target position information on the object is not given in the mission of the proximity operation. In particular, conventional equations describing relative motion of two spacecraft cause a navigation error due to the position-attitude coupling motion in which the attitude change of the spacecraft affects the relative position to the target.
In this dissertation, dual quaternion-based relative navigation is proposed for spacecraft that takes into consideration the position-attitude coupling motion that may occur at arbitrary points other than the center of mass of the spacecraft. Dual quaternion is a parameter defined by combination of dual number and quaternion. It represents the attitude and position in a unified form and it can be used to express the position-attitude coupling equation model easily and intuitively. Using dual quaternion-based kinematics equations for vision-based relative navigation, more effective navigation solutions can be obtained in position-attitude coupling situations. In addition, nonlinearity analysis of the parameter can show that though the linearized filter can give good results because the error occurring in the linearization process of the kinematics is not large. This dissertation is summarized into three parts.
First, it is verified that the dual quaternion-based kinematics can describe the position-attitude coupling motion for spacecraft in relative orbit motion. For a relative navigation problem having a target point on the rigid body of a relative object, the distance on the object between center of mass and the target point becomes relatively significant, as a spacecraft gets closer to the other. The relative navigation of spacecraft is generally composed of equations of motion in which the position and attitude are independent based on the center of mass of the two spacecraft. This causes navigation errors to the target point rather than the center of mass, and therefore, additional computation must be required to correct the error. Alternatively, the dual quaternion simultaneously represents position and attitude information, and its kinematics includes translational motion that varies with the rotational motion of the body. Consequently, the dual quaternion-based kinematics, which is simply defined by a unified form, can effectively reflect the position-attitude coupling problem.
Second, the dual quaternion-based extended and unscented Kalman filter are applied to the problem of estimating the relative position and attitude of two spacecraft considering position-attitude coupling. The vision-based relative navigation system using beacons and a position sensing diode sensor is constructed, and the six line-of-sight vectors obtained from the image sensor are used as the measurement value. In the implementation of an extended Kalman filter, by deriving an error dual quaternion that utilizes two parameter constrains, the covariance calculation gain can be obtained with six parameters instead of eight parameters. For both filter methods of EKF and UKF, two system models, relative velocity state propagation and measurement models, are constructed and simulated under various conditions. Simulation results show that in all cases the error of the state variable converges within the allowable range, and in particular, it can effectively solve the problem of position-attitude coupling in the relative velocity measurement model.
Lastly, nonlinearity of the dual quaternion-based kinematics is analyzed. The nonlinearity index of the system shows the degree of error of the model that may occur in the propagation process of the linearization model of the nonlinear system. The larger the nonlinearity index means that there is difference between the linearized and nonlinear model, and the navigation error obtained through the linearized filter becomes larger. The quaternion-based equation of motion is the most linearized model among the various rotation parameters, and the linearized model of dual quaternion-based kinematics derived by a similar method of quaternion has a low nonlinearity index. This indicates that the dual quaternion-based kinematics can have an acceptable navigation solution even if a linearized filter is used.
A relative navigation method for position-attitude coupling problem
using the dual quaternion-based kinematics is suggested in this dissertation. While previous equations of motion considered position-attitude independently, a dual quaternion-based kinematics is computed the positions affected by the attitude change simultaneously. This yields a navigation solution effectively for any point other than the center of mass of the relative object, and results are better than the previous method in case of the relative angular and linear velocity information are given. Especially, it can be applied to the case where the relative orbit or target point information is not clear, so that it may be used more helpful in practical missions.
인공위성의 상대 항법은 다수의 위성을 활용하거나 목표 물체로 접근하기 위한 우주 임무에서 필수적인 연구 중 하나이다. 일반적으로 GPS를 기반으로 항법 해를 얻을 수 있지만, 심우주 임무나 근접 운용 임무 등에서는 위성의 운동 방정식과 센서 측정치를 이용해서만 상대 위치 및 자세를 추정해야 한다. 즉, 목표 물체에 대해 정의된 운동방정식과 측정된 센서 값에 의해 항법 해의 정확도가 결정된다. 특히, 근접 운용의 임무에서 목표 물체의 궤도 정보나 상대 물체의 정확한 타겟 위치 정보가 주어지지 않을 경우, 일반적인 인공위성의 상대 운동방정식은 위성의 자세 변화가 타겟에 대한 상대 위치에 영향을 주는 위치-자세 결합 운동에 의한 항법 오차를 일으킨다.
본 논문에서는 근접 운용을 하는 인공위성을 위한 듀얼 쿼터니언 기반의 상대 항법을 연구한다. 특히, 인공위성의 무게중심이 아닌 임의의 점에 발생할 수 있는 위치-자세 결합 운동을 함께 고려한다. 듀얼 쿼터니언은 듀얼 넘버와 쿼터니언의 조합으로 정의되는 파라미터로, 자세와 위치를 단일한 형태로 나타내며, 이를 이용하여 위치-자세 결합 운동 방정식 모델을 간단하고 직관적으로 표현할 수 있다. 영상 기반 상대 항법에 듀얼 쿼터니언 기반의 운동방정식을 활용하면, 위치-자세 결합 운동에서 보다 효과적인 항법 해를 구할 수 있다. 또한 운동방정식의 선형화 과정에서 발생하는 오차가 크지 않아 선형화 필터에서도 좋은 결과를 보여줄 수 있음을 파라미터의 비선형성 분석을 통해 알 수 있다. 본 연구는 크게 세 가지 단계로 정리한다.
먼저, 두 인공위성의 상대 운동에서 듀얼 쿼터니언 기반의 운동방정식이 위치-자세 결합 운동을 반영할 수 있다는 것을 검증한다. 하나의 인공위성에서 상대 인공위성 위의 임의의 한 점을 목표점으로 하는 상대 항법 문제에 대해서, 무게중심에서 목표점까지의 거리는 두 위성의 거리가 가까워질수록 상대적으로 유의미한 크기가 된다. 일반적인 인공위성의 상대 항법은 두 인공위성의 무게 중심을 기준으로 위치와 자세가 독립된 운동방정식으로 구성한다. 이로 인해 무게중심이 아닌 목표점에 대한 항법에서는 오차가 발생하며, 따라서 추가적인 계산을 수행하여 이를 보정하는 과정이 필요하다. 반면, 듀얼 쿼터니언은 위치와 자세 정보를 동시에 나타내는 파라미터로, 이의 운동방정식은 강체의 회전 운동에 따라 달라지는 병진 운동 정보를 포함한다. 따라서, 통합된 하나의 식으로 간략하게 정의되는 듀얼 쿼터니언 운동방정식은 위치-자세 결합 문제를 효과적으로 반영할 수 있다.
다음으로, 위치-자세 결합을 고려한 두 인공위성의 상대 위치 및 자세를 추정 문제에 듀얼 쿼터니언 기반의 확장 칼만 필터와 무향 칼만 필터를 적용하였다. 비콘과 PSD 센서를 활용한 영상 기반의 상대 항법 시스템을 구성하여, 영상 센서에서 얻는 6개의 시선 벡터를 측정치로 활용하였다. 확장 칼만 필터에서는 듀얼 쿼터니언의 두 가지 파라미터 제한 조건을 활용한 에러 듀얼 쿼터니언을 유도함으로써 8개의 파라미터 대신 6개의 파라미터로 공분산 계산 이득을 얻을 수 있다. 두 필터 기법에 대하여 상대 속도 상태 변수 전파 모델과 상대 속도 측정 모델의 두 가지 시스템 모델을 구성하였으며, 다양한 조건에서 시뮬레이션을 수행하였다. 시뮬레이션 결과에서는 모든 경우 상태 변수 추정 오차가 허용범위 안에 수렴하며, 특히 상대 속도 측정 모델에서 위치-자세 결합 문제를 효과적으로 해결할 수 있음을 보여준다.
마지막으로, 듀얼 쿼터니언 기반 운동방정식의 비선형성 분석을 수행한다. 시스템의 비선형성 수치는 비선형 시스템의 선형화 모델의 전파 과정에서 발생할 수 있는 모델의 오차 정도를 보여준다. 비선형성 수치가 클수록 선형화 모델과 비선형 모델의 오차가 크며 선형화 필터를 통해 얻을 수 있는 항법 오차가 커진다. 회전 운동을 나타내는 파라미터 중 쿼터니언 기반 운동방정식은 가장 선형화된 모델이며, 이와 유사한 방법으로 계산한 듀얼 쿼터니언 기반 운동방정식의 선형화 모델 또한 낮은 비선형성 수치를 가진다. 이는 듀얼 쿼터니언 기반 운동방정식이 선형화 필터만으로도 허용 가능한 항법 해를 가질 수 있음을 나타낸다.
본 연구에서는 듀얼 쿼터니언 기반의 운동방정식을 이용하여 근접운용에서 발생 가능한 위치-자세 결합 문제를 위한 상대 항법을 제시하였다. 위치-자세가 독립적으로 계산되는 이전의 운동방정식과 달리, 자세의 변화에 영향을 받은 위치가 동시에 계산되는 듀얼 쿼터니언 기반 운동방정식을 사용함으로써, 무게중심이 아닌 임의의 점에 대한 항법 해를 효과적으로 도출한다. 상대 각속도와 선속도 정보가 주어지는 경우, 이전의 방법보다 나은 결과를 보여준다. 특히 상대 인공위성의 궤도 정보나 목표 점에 대한 위치 정보가 명확하지 않은 경우에도 적용이 가능하기 때문에, 실제 임무에서 보다 유용하게 활용이 가능하다.
