This thesis mainly consists of the study of the positivity of line bundles on smooth projective varieties and its connection with convex bodies. In Chapter 2, we study the interaction between the local positivity of line bundles and Okounkov bodies over algebraically closed field of arbitrary characteristic. We also extend the previous theorems on Seshadri constants to graded linear series setting, and introduce the integrated volume function to investigate the relation between Seshadri constants and filtered Okounkov bodies. Moreover, we introduce a convex body of a big divisor, which we call the extended Okounkov body, that is effective in handling the positivity theory associated with multi-point settings. We study their properties, shapes, and describe local positivity data via them. In Chapter 3, we focus on the strong positivity of line bundles. There are several ways to generalize the global generation and very ampleness, which are the classical ways to study the positivity of divisors, and among them, our interests are $k$-very ampleness and higher syzygies on abelian surfaces. First, let $(S,L_{S})$ be a polarized abelian surface, and let $M = c \cdot \pi^*L_S - \alpha \cdot \sum_{i=1}^r E_i$ be a line bundle on ${\rm Bl}_{r}(S)$, where $\pi:{\rm Bl}_{r}(S) \rightarrow S$ is the blow-up of $S$ at $r$ general points with exceptional divisors $E_{1},\dots,E_{r}$. In this setting, we provide a criterion for $k$-very ampleness of $M$, which generalizes the results of Szemberg and Tutaj-Gasi{\'n}ska. Finally, we extend the result of Lazarsfeld-Pareschi-Popa, which connects the Seshadri constants and the higher syzygies of polarized abelian varieties, in the case of abelian surfaces.
이 논문은 주로 매끄러운 사영 다양체들에 있는 선 다발들의 양의 성질에 대한 연구, 그리고 볼록한 체들과의 연관 관계에 대한 내용들로 구성되어 있다. 2장에서, 우리는 임의의 표수를 가진 대수적으로 닫힌 체 위에 정의되는 선 다발들의 국소적인 양의 성질들과 오쿤코프 체들 사이의 관계에 대해 연구한다. 우리는 또한 세샤드리 상수들에 관한 기존의 결과들을 등급 선형체계로 확장했으며, 세샤드리 상수와 필터된 오쿤코프 체들 간의 관계를 연구하기 위해 통합된 부피 함수를 정의하였다. 더 나아가, 여러 점들에 관한 양의 이론을 다루기에 유용한, 확장된 오쿤코프 체라 부르는 볼록 체를 소개하겠다. 우리는 그들의 성질, 모양들에 관해 연구하며, 그들을 통해 국소 양의 데이터를 묘사하였다. 3장에서, 우리는 선 다발들의 강한 양의 성질을 중점적으로 다룬다. 선 다발들의 양의 성질을 연구하는 고전적인 방법들인 전역 생성성과 매우 풍부성을 일반화하는 여러 가지 방법들이 존재하는데, 그것들 중에서, 우리의 관심사는 아벨 다양체의 $k$-매우 풍부성과 고차 시지지들에 있다. 먼저, 아벨 다양체를 $(S,L_{S})$라 하고, $M = c \cdot \pi^*L_S - \alpha \cdot \sum_{i=1}^r E_i$를 ${\rm Bl}_{r}(S)$에서의 선 다발이라 하겠다. 여기서 $\pi:{\rm Bl}_{r}(S) \rightarrow S$는 $r$개의 일반적인 점들에서 $S$의 블로우업 공간이며, $E_{1},\dots,E_{r}$는 예외 다발들이다. 우리는 $M$의 $k$-매우 충분성에 관한 판정법을 제시하는데, 이것은 스젬버그와 투타즈-가싱스카의 결과들을 일반화한 결과이다. 마지막으로, 우리는 세샤드리 상수와 아벨 다양체의 고차 시지지들을 연결한 라자스펠드, 패레스치, 포파의 결과를 2차원 아벨 다양체의 경우에 확장하였다.
