In the standard d-dimensional Euclidean convexity space, it is known that the colorful Helly number and the fractional Helly number are both d+1. We prove that in an abstract convexity space with bounded Radon number, the colorful Helly number and the weak fractional Helly number are bounded. To prove these results, we define convexity invariants for abstract simplicial complexes and show several correspondences between convexity invariants of convexity spaces and convexity invariants of nerve complexes. Furthermore, we show a simplification of Bukh’s counterexample for Eckhoff's conjecture as another application of these correspondences.
표준 d-차원 유클리드 공간에서 알록달록한 헬리 수와 부분적 헬리 수가 모두 d+1임이 알려져 있다. 본 논문에서는 만약 추상 볼록 공간의 라돈 수가 위계를 가진다면, 알록달록한 헬리 수와 약한 부분적 헬리 수가 위계를 갖는다는 것을 증명하였다. 이를 위해 추상적 단체 복합체 위에서 볼록 불변량을 정의하고, 볼록 공간의 볼록 불변량과 신경 복합체의 볼록 불변량 사이의 관계를 알아본다. 또한, 이 불변량들 사이의 관계를 활용하여 에크호프의 추측에 대한 북의 반례를 간소화하였다.
