When it comes to dealing with financial products, pricing and hedging is indispensable activities for market participants. The principle of dynamic replication provides a framework to achieve both valuation and management of derivatives. However, over the past decades, many empirical studies show that dynamic hedging strategies tend to fail for a variety of reasons in reality. As a consequence, an alternative approach, static hedging, has been suggested. This thesis discusses an approach to analyzing, evaluating and managing financial derivatives via static replications. In particular, I focus on several improvements from two perspectives: (1) theoretical foundation of static hedge with the theory of integral equations; and (2) extension of applicability to meet the growth in complex financial products.
From the first perspective, I propose a new systematic approach to hedging a wide class of financial products under mild assumptions on implied volatilities, and under a general Markovian diffusion with killing. I call it boundary matching approach. While dynamic hedging is elaborately derived from a continuous time finance model, there is no such a fundamental theory to static hedging. I establish a continuous time version of static replications with integral equations whose rich theory is essential for characterizing and quantifying static hedging portfolios. Then, the existence and uniqueness of static hedging portfolio for target derivatives are studied. To do this, I study the associated Volterra integral equation and generalized Abel integral equations. This framework allows us to obtain analytic expressions of hedge weights and values of complex derivatives. Furthermore, improved numerical schemes are designed to make the proposed method practically feasible. Lastly, their convergence of discrete portfolios is rigorously proven, which has been confirmed only by numerical experiments in the literature.
In response to the criticism of static hedging about the restricted applicability, I broaden the area in which static hedging can be applied. In this thesis, I explore static replications of Parisian options, American options, barrier options, sequential barrier options, knock-in knock-out options and Autocallable barrier reverse convertible products(also known as ELS in Korea). To handle a wide spectrum of trigger features and payoff functions, I suggest a decomposition technique for Parisian options, and recursive method for Autocallable barrier reverse convertible products. A Parisian option is also a barrier-type option in which its payment is activated only if the underlying asset consecutively remains below a given barrier over a certain amount of time, the option window. Unlike most type of barrier options, the knock-in(out) boundaries of Parisian options are not depicted on $(t,S_t)$-plane. Thus, I investigate the decomposition of a Parisian option into other contingent claims for each of which a static hedging strategy can be devised. For structured products with autocallable, reverse convertible and barrier features, I propose a recursive method that utilizes strike-spread approach and calendar-spread approach in the literature.
시장참여자가 금융파생상품을 다루는데 있어서 가격결정과 위험관리는 필수불가결한 행위이다. 블랙-숄즈-머튼의 동적복제론은 이 두 가지를 동시에 제공하는 훌륭한 체계로 산업계와 학계에서 광범위하게 연구되어왔다. 하지만, 지난 수십년 동안 많은 실증연구들이 동적복제가 실제에서는 다양한 이유로 실패할 수 있다는 것을 보여주었고, 그 결과 정적헤징이 대안으로 제안되었다. 본 학위논문은 정적복제를 통한 다양한 금융파생상품의 위험을 분석, 가치평가 및 관리하는 방법론에 대해 논의한다. 특히, 기존의 문헌에서 지적받았던 두가지 한계점에 초점을 맞추어 여러가지 개선을 이루고자 한다: (1) 적분방정식을 이용한 정적헤징의 이론적 토대 수립, (2) 복잡한 금융상품의 성장에 부합하는 정적복제 적용성의 확장.
첫번째 시각에서 저자는 다양한 금융상품을 내재변동성에 관한 약한 가정, 혹은 일반적인 마르코프 모델하에서 헤징할 수 있는 새로운 체계적 접근법을 제안하며 그것을 boundary matching approach라고 명명한다. 동적헤징이 연속적 시간 모델에서 정교하게 유도된 반면, 정적 헤징에서는 그와 같은 근본적인 이론이 만들어져 있지 않다. 본 학위논문에서는 적분방적식의 풍부한 이론들을 정적헤징포트폴리오를 특정화하고 수치화시키는데 사용하여 연속적 시간 모델하에서 새로운 정적헤징 이론을 수립한다. 그리고, 그러한 헤징포트폴리오의 존재성과 유일성에 대해서 엄밀하게 증명한다. 이를 위해 관련된 볼테라 적분방정식과 일반적인 아벨 적분방정식을 살펴본다. 이러한 접근법은 기존에 불가능했던 복잡한 금융상품들의 헤지와 가치결정을 해석적으로 할 수 있게 해준다. 뿐만 아니라, 제안된 방식이 실현가능할 수 있도록 개선된 수치적 방법 역시 고안한다. 마지막으로 그렇게 구해진 이산 헤징 포트폴리오의 수렴성을 엄밀하게 증명한다.
적용성이 한정적이라는 한계를 극복하기 위해 정적복제가 활용될 수 있는 분야를 넓히고자 한다. 본 학위논문에서는 파리지안 옵션, 아메리칸 옵션, 배리어 옵션, 순차적 배리어 옵션, KIKO 그리고 Autocallable barrer reverse convertible 의 정적헤징을 다룰 것이다. 다양한 발동옵션과 수익구조에 접목하기 위해서 수익구조의 분해기법과 재귀적 방법을 제안한다. 파리지안 옵션은 기초자산의 가격이 지속적으로 주어진 배리어 아래에 일정시간 머물 경우 수익구조가 발동되는 배리어 옵션의 일종이다. 대부분의 배리어 옵션들과는 달리 녹인 경계가 $(t,S_t)$ 평면에 그려질 수 없어서 기존의 정적복제 방법론을 적용하기가 힘들다. 이에, 파리지안 옵션을 정적헤징이 가능한 다른 옵션들로 분하는 방법을 연구한다. 조기상환, 역전환 및 배리어 특징을 겸비한 구조화 상품에 정적헤징을 적용하기 위해서 기존 문헌에서 연구된 calendar-spread 와 strike-spread 방법론을 재귀적으로 활용하는 방법 또한 제안한다.
