We consider several optimization problems in the portfolio selection problem subject to systemic risk aversion. The systemic risk has been a big concern in the financial systems since the global financial crisis 2007-2008. The goal of this thesis is to study the portfolio selection problems which reduce the systemic risk and to measure the systemic risk contributions to cope with unpredictable crises. We present the mathematical formulations of the problems and propose several algorithms for the portfolio selection problem.
First, We propose extensions of the general mean-risk portfolio selection models, with the aim of limiting the spillover effect of risk. We use the Conditional Value at Risk(CoVaR) as a measure to identify the tail risk contribution of securities. The goal is to find a portfolio which minimizes general risk measures while the tail risk contribution is limited. Based on the frameworks of the general mean-risk models, we additionally guarantee that a portfolio has limited tail risk contributions. Extensions of the mean-risk models can be formulated as mixed integer nonlinear programs. To solve these problems efficiently, we propose a Dantzig-Wolfe decomposition reformulation and the column generation algorithm in which the subproblem reduces the spillover effect of tail risk.
Next, We propose the quantile regression and the support vector regression models to measure the systemic risk exposure, that is, Exposure CoES(Conditional Expected Shortfall). The proposed methods are nonparametric in the sense that they do not require assumption on the distribution of data, and they are less sensitive to outliers. We use both the original definition and the modified definition of CoVaR and CoES. We test the performance of systemic risk exposure for the companies of various industrial sectors. The empirical analysis shows that the companies of Energy and Industrials sector are highly correlated with the system risk like the financial institutions. Also, we provide a way of using Exposure CoES for the portfolio selection problem. The results show that the portfolios obtained from our approach perform well and are less affected by future crisis.
Lastly, We develop a Bayesian network model to express the risk contagion in a financial system. To calculate the score of a Bayesian network, joint probability distributions or conditional probability tables are required in general. Instead of them, we propose an information criterion based scoring function which is based on the maximum likelihood estimation. We utilize the support vector machine to incorporate the information criterion into the model. Moreover, the scores of subgraphs should be calculated for all of exponentially many variables a priori. We propose a mathematical formulation for the Bayesian network and a column generation based algorithm to handle the huge number of variables efficiently. The goal is to obtain the Bayesian networks which explain the contagion effect of risk. In most studies about risk contagion in financial network, researches are limited to the financial institutions. We extend the area of risk contagion to other financial sectors.
본 논문에서는 시스테믹 리스크를 회피하는 포트폴리오 선택 문제를 다룬다. 2007-2008년에 미국에서 발생한 글로벌 금융위기 사태로 인해 시스테믹 리스크의 중요성이 커졌다. 본 논문의 목적은 예측 불가능한 위기에 대처하기 위해서 시스테믹 리스크를 고려하는 포트폴리오 문제를 연구하고 시스테믹 리스크의 확산을 정량적으로 잘 측정하는 것이다. 위 문제를 풀기 위해 수리 모형들을 제시하였고, 수리 모형을 풀기 위한 알고리즘들을 제안한다.
첫째로, 위험의 확산을 제한하는 일반적인 평균-위험 모형의 확장을 제안한다. 우리는 CoVaR(Conditional Value at Risk)를 이용하여 한 회사의 꼬리 위험이 다른 회사의 꼬리 위험에 미치는 영향을 측정한다. 포트폴리오 내에서 서로에 대한 꼬리 위험의 기여도를 제한하기 위해서 일반적인 평균-위험 모형에 제약식을 추가하는 형태로 수리 모형을 제안한다. 확장된 모형은 혼합 정수 비선형 계획법으로 모형화 된다. 이를 효율적으로 풀기 위하여 Dantzig-Wolfe 분해 모형과 열 생성 기법을 제안한다.
둘째로, 시스테믹 리스크에 대한 노출(Exposure CoES)을 측정하기 위해서 분위 회귀 모형과 서포트 벡터 분위 회귀 모형을 제시한다. 제안된 모형들은 매개 변수가 필요없는 모델로서 데이터의 분포에 대한 가정이 필요없고, 특이치에 덜 민감하다는 장점이 있다.우리는 다양한 산업 분야의 회사들에 대해서 시스테믹 리스크에 대한 노출을 측정하고 평가한다. 실증적 연구를 통해 에너지와 산업 분야의 회사들이 금융 시스템과 밀접한 연관이 있음을 보였다. 또한 포트폴리오 선택 문제에 Exposure CoES를 활용하는 방안을 제시한다.
셋째로, 우리는 금융 시스템에서 위기의 전염을 표현하기 위한 베이지안 망을 개발한다. 베이지안 망은 변수들간의 인과관계를 설명하기 위한 망으로서 이를 설계하기 위해서는 일반적으로 동시 확률 분포나 조건부 확률이 필요하다. 대신에 우리는 정보 기준(Information Criterion)과 최대공산추정을 기반으로 한 점수 함수를 제안한다. 이를 모델에 적용시키기 위하여 서포트 벡터 머신을 활용한다. 하지만 그래프의 점수 계산은 지수적으로 많은 변수에 대해서 미리 해야 한다는 단점이 있다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 열생성 기법을 활용한 수리 모형을 제안한다. 베이지안 망을 이용해 시스템 내에서 위험이 전염되는 현상을 표현하는 것이 연구의 목적이다. 위험의 전염에 관한 금융망 모형은 대부분 금융기관에 한정되어 있다. 우리는 이를 다른 분야로 확장한다.
