In [GH], Griffiths and Harris asked whether a projective complex submanifold of codimension two is determined by the moduli of its second fundamental forms. More precisely, given a nonsingular subvariety $X^n$ ⊂ $P^{n+2}$, the second fundamental form $II_{X,x}$ at a point x ∈ X is a pencil of quadrics on $T_x(X)$, defining a rational map $µ^x$ from X to a suitable moduli space of pencils of quadrics on a complex vector space of dimension n. The question raised by Griffiths and Harris was whether the image of $µ^X$ determines X. We study this question when $X^n$ ⊂ $P^{n+2}$ is a nonsingular intersection of two quadric hypersurfaces of dimension n > 4. In this case, the second fundamental form $II_{X,x}$ at a general point x ∈ X is a nonsingular pencil of quadrics. Firstly, we prove that the moduli map $µ^X$ is dominant over the moduli of nonsingular pencils of quadrics. This gives a negative answer to Griffiths-Harris’s question. To remedy the situation, we consider a refined version $µe^X$ of the moduli map $µ^X$, which takes into account the infinitesimal information of $\widetilde\mu^X$. Our main result is an affirmative answer in terms of the refined moduli map: we prove that the image of $\widetilde\mu^X$ determines X, among nonsingular intersections of two quadrics.
1979년에 Griffiths와 Harris는 여차원이 2인 사영다양체가 그 위에서의 2차형식들의 모듈라이에 의해서 결정될 수 있는지 물었다. 이 논문에서는 임의의 두 2차초곡면의 교집합으로 정의되는 매끄러운 사영다양체 위에서 모든 형태의 매끄러운 2차형식이 나타날 수 있음을 보이고, 이를 통하여 Griffiths와 Harris의 물음에 부정적인 답을 제시한다. 또한 2차형식들의 모듈라이 사상을 극소 정보를 고려하여 개선하면 두 2차초곡면의 교집합으로 정의되고 차원이 5 이상인 매끄러운 사영다양체들의 경우, 개선된 모듈라이 사상에 의해 구분될 수 있음을 보인다.
