In this paper, we investigate how the method of (Poincar$\acute{e}$-Dulac) normal form can be applied to the theory of dispersive partial differential equations. In particular, we prove unconditional well-posedness of canonical dispersive equations on the real line. More precisely, we implement an infinite iteration scheme of normal form reductions to the cubic nonlinear Schr$\ddot{o}$dinger equation (NLS) and the modified Korteweg-de Vries equation (mKdV) on the real line and prove unconditional well-posedness in $H^s(\R)$ with (i) $s\geq\frac 16$ for the cubic NLS and (ii) $s>\frac 14$ for the mKdV. One novelty of this paper is that we present normal form reductions in an abstract form, reducing multilinear estimates of arbitrarily high degrees to successive applications to trilinear localized modulation estimates.
In Chapter 1, we briefly introduce the idea of (Poincar$\acute{e}$-Dulac) normal form approach to dispersive equations, and surmmarize some relevant previous researches. In Chapter 2, we establish crucial trilinear estimates (localized modulation estimates) for the cubic NLS and the mKdV. In Chapter 3, we perform an infinite iteration of normal form reductions and derive the normal form equation. We carry out the computation in Chapter 3 at a formal level. In Chapter 4, we justify the formal computation in Chapter 3 and then prove our main result.
본 논문에서는 (푸앵카레-뒬락) 표준형을 비선형 분산 방정식에 적용하는 방법에 대해서 다룬다. 특히 실수 축 위에서 정의된 몇 가지 표준적인 분산 방정식 모형의 해의 존재성, 유일성에 관심을 두고 있다. 본 연구를 통해 삼차 비선형 항을 가진 비선형 슈뢰딩거 방정식과 변형된 콜테베그-데브리스 방정식이 각각 $s\geq\frac{1}{6}$, 그리고 $s>\frac{1}{4}$인 범위의 $H^s(\R)$ 공간 위에서 해가 존재하고 유일함을 증명할 수 있고, 이 때의 존재성과 유일성은 어떠한 보조 공간의 도움없이 $H^s(\R)$ 공간 전체 위에서 기술될 수 있다. 이 증명에서 우리는 주어진 방정식을 표준형으로 변환하는 과정을 무한히 적용시키는데, 몇 가지 진동 함수의 국소화 조건을 포함하는 기본적인 삼중 선형 형식들을 이해하면, 무한 번의 표준형 변환 과정을 통해 등장하는 임의의 큰 차수의 다중 선형 형식을 기본적인 삼중 선형 형식들의 합성으로 이해할 수 있다.
본 논문의 1장에서는 고전적인 상미분 방정식 이론에 등장하는 표준형의 개념을 분산 편미분 방정식에 적용하는 착상에 대해 설명하고, 이와 관련된 이전의 연구 결과에 대해서 다룬다. 2장에서는 비선형 슈뢰딩거 방정식과 변형된 콜테베그-데브리스 방정식 각각에 대한 기본적인 삼중 선형 형식을 소개하고, 이들에 대한 몇가지 부등식들을 증명한다. 3장에서는 무한 번 적용되는 표준형 변환을 통해 최종적으로 도달하게 되는 방정식을 소개하고, 각 단계에서 생기는 다중 선형 형식에 대해 자세히 다룬다. 마지막으로, 4장에서는 3장에서 쓰인 계산 방법이 실제로 우리가 정한 함수 공간 위에서 적용될 수 있음을 밝히고, 방정식들의 해의 존재성과 유일성에 대한 증명을 완성한다.
