A process for generating an (n-1)st degree approximate to a Bezier curve of degree n is proposed. This process is called degree reduction. The necessity to determine the degree reduced curve by approximation is manifest since generally the degree reduction is not exactly possible in contrast to the reversed question of degree elevation.
Doing so, the degree reduction can be accomplished in number of ways. Forrest[12] proposed a geometrical algorithm preserving the tangent at endpoints. Farin[9] considered a degree reduction scheme for developing the rational case. Watkins and Worsey[24] suggested the use of the Chebyshev polynomials in degree reduction process. Nearly simultaneously, Lachance[16] described the same scheme whereby his algorithm needs the transformation to monomial series only. Eck[6] generalized the Farin's method by using constrained Chebyshev polynomials. The methods of Forrest and Farin were mentioned without error analysis in the previous work.
In this work, we investigate a geometric property of Bezier curves and describe a simple idea of degree reduction. The approximation does not coincide in general at the two boundaries. This problem can be overcome by introducing new factors. The approximation agrees at the two endpoints up to a preselected smoothness order.
The presented scheme allows a detailed error analysis providing a priori bounds of the pointwise approximation error. The error analysis for the other scheme is also presented by applying the described scheme.
Bezier 곡선은 그 수학적인 특성 때문에, 비행기, 배, 자동차등의 각종제품의 설계를 위한 CAD 시스템에 널리 이용되고 있다. 또한, DTP 시스템등에 사용되는 외곽선 폰트의 기술에도 이용된다.
이와 같이 컴퓨터 그래픽스 분야에 널리 이용되는 Bezier 곡선에 관한 많은 문제 중의 하나가 곡선의 차수 감소 문제이다. Bezier 곡선의 차수감소란 주어진 n차 Bezier 곡선의 m(m ＜ n)차 근사 Bezier곡선을 찾는 문제이다.
본 논문에서는 Bezier 곡선의 차수감소에 관한 일반적인 방법을 제시한다. 또한, 제시한 방법에 의해 구해지는 근사 곡선과 주어진 곡선과의 차이를 일양 노름 (uniform norm)을 이용하여 분석한다. 본 논문에서 제시한 방법은 원하는 정도의 연속성을 갖는 근사곡선을 구할 수 있다.
기존에 개발된 다른 방법들은 본 논문에서 제시한 방법의 특수한 경우임을 보이고, 오차 해석이 되어 있지 않은 방법에 대한 오차도 분석한다.
제시한 방법을 다차원의 경우로 확장하면, Bezier 곡면의 차수감소에 관한 방법을 얻을 수 있다.
