A numerical and analytical study is made of spin-up from rest of a two-layer liquid in a rapidly rotating cylinder. The overall system Ekman number is small. Comprehensive numerical solutions are secured to the time-dependent Navier-Stokes equations. VOF method suggested by Hirt et al. was utilized after some modifications to prevent smoothing of free boundary (interface) occurs when a conventional scheme is used. The numerical solutions are validated by comparing the maximum interface displacements with the available experimental data as well as the analytical model predictions.
Descriptions are made of the prominent characteristics of the interface shape for the two regimes of $v_1/v_2$<1.0 and $v_1/v_2$>1.0. These show that the global spin-up process is substantially accomplished over ($E_n^{-\frac{1}{2}}\Omega^{-1}$), where $E_n$ denotes the value of the smaller Ekman number of the two layers. Taking advantage of the wealth of numerical data, scrutiny is made of the detailed profiles of azimuthal and meridional velocity component. The computed transient meridional flow fields are supportive of the basic contentions of the modified analytic model.
As limit case of free boundary the study on spin-up from rest of a fluid within free surface presented. The free surface sustain parabolic contour during the whole spin-up time span, which is different from two-layer fluid. The present numerical results predict well the flow characteristics. Columnar flow approximation assumed in Homicz and Gerber's study is satisfied substantial region of fluid except endwall and boundary layer.
With a knowledge of detailed flow structure of meridional flow the extension of analytic model is made to large Froude number case. Large Fr number implies large interface deformation for given density ratio. Previous model is restricted to a small value. A weighting factor was introduced to adjust the flux induced by Ekman pumping at the endwall disks when the interface touches top either/or bottom disk. The matching condition is applied at the intersecting point and iteration method is used during the at that stage. The comparison is made between the prediction by present model and experimental data and it shows in close agreement. The results clearly demonstrate that the angular momentum acquisition of both layers is mutually related to each other.
The experiment using visual image processing technique has been conducted to capture not the transition of interface but azimuthal velocity profile. In order to avoid the distortion of image introducing when a cylindrical container is used a new technique by means of laser beam is proposed to get the precise position of interface.
회전 유동은 해석학적인 접근이 용이함과 함께 유체역학적인 측면에서 매우 특이한 현상을 동반함으로 지금까지 많은 연구가 행하여져 오고 있다. 또한 유체기계 및 여러 가지 기구에서 회전이 주요 운동 과정을 이루고 있어 실용면에서도 중요 연구 대상이다. 기하학적 단순화를 위하여 회전 유동은 원통용기 안에 유체를 채운 후 용기를 회전시키는 것을 모델로 삼아 연구를 주로 수행하고 있다. 하지만, 지금까지의 연구는 수학적인 접근이나 수치해석적 방법상의 어려움으로 인하여 단일 유체가 용기 내에 가득 차있는 경우를 벗어나지를 못하였다. 자유경계면 또는 자유 표면이 존재하면 경계조건의 특이성으로 인하여 여러 가지 변수를 고려하여야하며 수치 해석 방법도 특별히 개발된 것을 사용하여야한다.
유체계를 정지 상태에서 갑자기 일정한 각 속도로 회전시키면 내부에는 복잡한 역학 작용에 의해 2차 유동이 발생하고 이 유동에 의해 유체가 회전 속도를 획득하게 되며 결국에는 강체 운동을 하게 된다. 두 유체가 서로 층을 이루고 있는 경우에는 이 과정이 경계면의 영향을 받게 된다. 경계면이 존재하는 유체계를 회전시킬 때, 경계면의 정상상태에서의 형태는 매우 잘 알려져 있는 아래로 볼록한 포물선 형태를 가지게 된다. 이 경계면 형상은 윗 층의 유체가 공기인 경우, 즉 자유표면의 경우와 자유 경계면 (Free Boundary)의 경우가 완전히 일치한다. 이 경계면 형상은 몇 가지 영역으로 나눌 수 있는데 각 영역에 따른 경계면 형상은 경계면이 위, 아래 원판에 교차하느냐에 따라 나누어진다. 또 각 영역은 용기의 형태, Froude 수, 유체가 차있는 정도에 관계 된다.
정상상태에서의 회전 유동은 경계면의 형태와, 내부 유동의 특성이 잘 파악되고 있으나, 현재까지 그에 이르기까지의 과도 특성은 정보가 매우 적다. 반면, 실제 응용시에는 비 정상상태의 유동 특성을 아는 것이 중요하므로, 본 논문에서는 먼저 고속으로 회전하는 용기내에 차 있는 물리적 성질이 서로 다른 두 유체가 정지 상태로 부터 정상 상태에 이르는 스핀. 엎 과정에서 경계면 형상의 변형 과정과 그것이 유동장에 미치는 영향을 수치 계산을 통해 물리적으로 해석하고 파악하였다. 전반적으로 계의 Ekman($v/\OmegaR^2$)수는 매우 작은 경우로 한정하였다. 초기에 유체는 중력에 대하여 안정된 상태에 있게 되므로 윗 층 유체의 밀도는 항상 아래 층 유체의 밀도에 비해서 작은 반면($\rho_1/\rho_2$) 동점성 계수비는 임의의 값을 가질 수 있으며($v_1/v_2<1.0$ 또는 $v_1/v_2> 1.0$), 이 매개 변수에 의하여 유체계의 비정상 과정의 천이 특성이 달라진다. 적당한 매개 변수 영역에서는 경계면이 포물선을 유지하지 않음을 알게 되었다. 여러 가지 계에 영향을 주는 매개 변수 중에서 Froude 수와 경계면의 초기 높이에 따른 영향도 함께 고찰하였다.
본 논문에서는 기존의 간략 모델이나 실험에서는 측정상의 어려움으로 인해 제공할 수 없었던 자오면 (Meridional) 유동 형태의 시간에 따른 천이과정을 물리적인 가정을 배제한 완전한 Navier-Stokes 방정식을 수치적으로 적분을 수행하여 상세하게 제시함으로써 기존 모델에서 사용된 가정의 타당성 검증을 하였을 뿐만 아니라 향후 모델 개선의 기초 자료를 제공하였다.
간략화된 해석적 모델(Wedemeyer, Gerber ＆ llomicz Model)의 요점을 간략하게 정리하였으며 그 모델에서 사용한 기본적인 가정에 대해서도 고찰을 행하였다. 수치 계산 결과를 검증하기 위해서 경계면의 최대 변이량을 기준으로 실험결과와 비교하였으며, 그 결과 수치 적분 기법이 실제 현상을 정확히 모사함을 확인하였다.
이 수치계산 결과로 부터 기존의 해석학 적인 모델에 사용한 기본 가정의 물리적인 타당성을 검증하여 그들의 가정이 적절함을 보하였다. 따라서 이는 모델이 문제를 개략적으로 해석할 때, 간단히 적용 될 수 있음을 의미하며 그 신뢰도 및 정확도를 뒷받침한다. 또한, 경계면이 있는 유체계의 스핀엎 과정에서 경계면의 존재 여부에 관계없이 계 전체의 정상상태에 도달하는 시간척도는 균질 유체의 스핀 엎 시간 척도와 같은 정도의 시간이 소요되며, 단지 각 층의 시간에 따른 천이 과정은 경계면의 변형 과정에 의존하여 매우 다른 양상을 보임을 알았다.
경계면 모습을 측정하기 위해 용기내부의 유체에 형광 물질을 용해시킨 후 측면에서 슬릿 광원으로 조명하며 유체에 의해 산란된 빛을 사진으로 촬영하였다. 또한 속도 측정은 회전 방향 속도 성분의 크기가 매우 크므로 고속 영상 촬영 장치를 이용하여 유체에 부유하는 입자의 궤적을 측정함으로써 구하였다. 또한 유동장에 영향을 주지않는 레이저를 이용하여 원통용기를 사용함에 따라 나타나는 경계면 형상의 왜곡을 피할 수 있는 기법을 제시하였다.
본 연구는 궁극적으로 실제 전자 장비 제작, 탄도체 안정성 해석등에 매우 중요한 역할을 담당하는 경계면 주위의 유동 특성및 경계면의 영향을 해석함으로써 고 품질, 고 신뢰도의 장비를 제작하기 위한 유체 역학적 기초 자료를 제공한다. 또한 본 문제에서 사용한 해석기법을 이용한 다양한 분야의 수치해석 접근방법을 제시하였다. 적절하게 개발한 수치해석 기법을 열전달 문제에 확장하여 좀더 실제적인 응용에 쓰일 수 있게끔 하는 연구가 계속 요구된다.
