This thesis considers the optimal designs for the following five design objectives:
(i) Estimation of the mean response;
(ii) Estimation of the derivatives of the response function;
(iii) Estimation of the difference between mean responses;
(iv) Simultaneous estimation of the mean response, the derivatives and the difference;
(v) Discrimination between two rival models.
For design objectives (i)-(iv) it is assumed that both the postulated and true models are polynomials and the order of the true model is higher than that of the postulated model. It is further assumed that the sum of squares of the parameters excluded from the postulated model is bounded. The design criterion suggested for the first three design objectives is to minimize the average mean squared error (AMSE) maximized over the region of the excluded parameters. Classes of first order minimax AMSE designs are then obtained for design objectives (i)-(iii). Optimal first order designs for design objective (iv) are derived by maximizing the minimum of the efficiencies with respect to the first order minimax AMSE designs for individual design objectives (i)-(iii). Specific first order designs are then chosen via the secondary criteria maximizing the minimum and average of the measure for the lack of fit over the region of the excluded parameters. Such design criteria are equivalent to the maximization of the minimum and average power of the lack of fit test. For the cases where the lack of fit test is significant, second order designs accommodating the optimal first order designs are derived. For design objective (iii) we further obtain the first order designs minimizing AMSE and the second order minimum bias designs for the situations in which the region of the excluded parameters is unknown.
For design objective (v) it is assumed that there are two plausible regression models and one is nested within the other. We consider the design criteria maximizing the minimum and average of the measure for the lack of fit of the nested model. The minimum and average are taken over the region of parameters associated with the measure of the inadequacy of the nested model. It is shown that applicability of two types of such design criteria suggested by the previous works depends on the estimation method used. Then new design criteria are proposed for the minimum bias estimation. In order to obtain the designs robust to the estimation method, we consider the minimum bias designs. Optimal first order minimum bias designs and optimal second order designs accommodating the optimal first order minimum bias designs are derived.
본 논문은 실험의 목적이 아래의 다섯가지인 경우 선형회귀모형에 대한 최적실험을 설계하는 문제를 다루고 있다.
(i) 평균반응의 추정;
(ii) 반응함수의 도함수 추정;
(iii) 평균반응간의 차이 추정;
(iv) 평균반응, 도함수, 평균반응간의 차이에 대한 동시 추정;
(v) 두 회귀모형에 대한 판별.
실험목적이 (i)-(iv)인 경우 반응함수에 대한 가정모형과 참모형 모두 다항함수이고, 참모형의 차수가 가정모형의 차수보다 더 높고, 가정모형에서 배제된 모수들의 내적이 한정되어 있다고 가정하고 각 실험목적에 대한 최적실험을 구한다. 실험목적 (i)-(iii)에 대해서는 가정모형에서 배제된 모수들의 영역에서 구한 평균평균제곱오차의 최대값을 최소화하는 설계규준을 제안하고 최적일차실험을 구한다. 임의 실험의 이 세 목적에 대한 최적실험에 대한 효율을 정의하고, 이 효율의 최소값을 최대로 하는 실험을 실험목적 (iv)에 대한 최적실험으로 제안하고 최적일차실험을 구한다. 실험을 확률함수로 생각할 때, 이 최적일차실험들은 모두 이차적률에 의하여 결정되므로 특정한 최적일차실험을 구하기 위해 부차적인 설계규준을 적용한다. 가정모형에 대한 적합성 검정의 검정력을 최대화하기 위하여 가정모형에서 배제된 모수들의 영역에서 구한 적합결여에 대한 측도의 최소값 또는 평균값을 최대로 하는 부차적인 설계규준을 제안하고 이용한다. 그리고 최적일차실험에서 얻어진 자료를 분석한 결과 가정한 일차모형이 적절하지 못하다는 결론이 나올 경우를 위하여 최적일차실험을 포함하는 최적이차실험을 설계하는 문제도 다룬다.
다음으로 가정모형에서 배제된 모수들에 대한 가정이 없는 경우를 위하여 평균 평균제곱오차를 가능한 작게 하는 실험을 설계하는 문제를 다룬다. 실험목적 (i)과 (ii)에 대해서는 기존의 연구가 있으므로, 실험목적 (iii)에 대해 최적일차실험과 이차최소편의 실험을 구한다.
실험목적이 (v)인 경우에는 두 회귀모형 모두 다항함수이며 한 모형의 차수가 다른 모형의 차수보다 높다고 가정한다. 이때 차수가 낮은 모형의 적합성을 검정할 때 검정력을 최대로 하는 것이 중요하므로 적합결여에 대한 측도의 최소값 또는 평균값을 최대로 하는 설계규준을 사용한다. 이때 적합결여에 대한 측도의 최소값과 평균값을 구할 영역을 정하는 방법과 관련하여 기존 연구에서 제안한 두가지 설계규준은 추정법에 따라서 사용여부가 결정되어야 함을 보인다. 최소자승법의 대안인 최소편의 추정법을 사용하는 경우에 대한 설계규준과 추정법에 불변하는 결과를 주는 실험으로 최소편의 실험을 제안하고 최적일차 최소편의 실험을 구한다.
